Problem C. 1456. (January 2018)

C. 1456. Prove that no perfect square can be represented in the form \(\displaystyle 3^a+9^b+1\) (\(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) are positive integers).

(5 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik ilyen négyzetszám. Ekkor \(\displaystyle n^2=3^a+9^b+1\), ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. A jobb oldal páratlan, így \(\displaystyle n\) is páratlan szám. Vegyünk el \(\displaystyle 1\)-et mindkét oldalból és a bal oldalt alakítsuk szorzattá: \(\displaystyle (n-1)(n+1)=3^a+9^b\).

A bal oldalon két egymás utáni páros szám szorzata áll, ezért az egyik \(\displaystyle 2\)-vel, a másik \(\displaystyle 4\)-gyel biztosan osztható, így szorzatuk osztható \(\displaystyle 8\)-cal.

\(\displaystyle 9^b=(8+1)^b=8^b+b\cdot8^{b-1}+⋯+b\cdot8+1.\)

A jobb oldalon az utolsó tag kivételével mindegyikben van \(\displaystyle 8\)-es szorzó, így \(\displaystyle 9^b\) \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 1\)-et ad maradékul.

Ha \(\displaystyle a\) páros szám, akkor \(\displaystyle a=2k\). Ekkor \(\displaystyle 3^a=3^{2k}=9^k\), tehát \(\displaystyle 3^a\) nyolcas maradéka is \(\displaystyle 1\).

Ha \(\displaystyle a\) páratlan szám, akkor \(\displaystyle a=2k+1\). Ekkor \(\displaystyle 3^a=3^{2k+1}=3\cdot9^k\). Ekkor \(\displaystyle 3^a\) nyolcas maradéka \(\displaystyle 3\).

Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle 3^a+9^b\) \(\displaystyle 8\)-as maradéka páros \(\displaystyle a\) esetén \(\displaystyle 2\), páratlan \(\displaystyle a\) esetén \(\displaystyle 4\), vagyis nem osztható \(\displaystyle 8\)-cal, tehát nem létezik ilyen négyzetszám.

Statistics:

55 students sent a solution.
5 points:	Andó Viola, Balázs Réka, Biró 424 Ádám, Csonka Illés, Csóti Kristóf, Falvay Júlia, Fodor Marcel, Fonyi Máté Sándor, Forczek Bianka, Gém Viktória, Harmath Eszter, Hordós Adél Zita, Ill Ninetta, Kerekes Boldizsár, Kis 194 Károly, Kiss 014 Dávid, Koleszár Domonkos, Kovács 157 Zita, Kovács Fruzsina Dóra, Kozma Kristóf, Markó Gábor, Mendei Barna, Pásti Bence, Rátki Luca, Shuborno Das, Szendrei Botond, Tóth Lilla Eszter , Trombitás Hanna Lívia, Werner András, Williams Hajna.
4 points:	Szente Péter.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	10 students.
0 point:	12 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2018