Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1457. feladat (2018. január)

C. 1457. Az egységsugarú körbe írt egyenlőszárú, derékszögű háromszöget a kör középpontja körül 45 fokkal elforgattuk. Határozzuk meg a két háromszög közös részének kerületét és területét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Ha a sugár egységnyi, akkor \(\displaystyle AB=2r=2\).

Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle FGH\) egyenlő szárú derékszögű háromszögek befogóinak hossza:

\(\displaystyle AC=BC=FG=FH=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.\)

A \(\displaystyle 45°\)-os elforgatás miatt az \(\displaystyle AB\) átmérő merőleges a \(\displaystyle GF\) húrra és felezi azt, hasonlóan a \(\displaystyle GH\) átmérő felezi a \(\displaystyle BC\) húrt, ezért \(\displaystyle FJ=GJ=BM=CM=\frac{\sqrt2}{2}\).

\(\displaystyle GJO\) és \(\displaystyle BMO\) is egyenlő szárú derékszögű háromszögek, átfogójuk a kör sugara, tehát \(\displaystyle 1\). Befogóik: \(\displaystyle GJ=OJ=BM=MO=\frac{\sqrt2}{2}\).

\(\displaystyle AJ=AO-OJ=1-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.\)

\(\displaystyle AJI\) és \(\displaystyle HML\) egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Befogóik: \(\displaystyle AJ=JI=HM=ML=1-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.\)

\(\displaystyle FI=FJ-JI=\frac{\sqrt2}{2}-\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2-1.\)

\(\displaystyle FIK\) és \(\displaystyle CKL\) egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Befogóik: \(\displaystyle FI=FK=CK=CL=\sqrt2-1\). Átfogóik: \(\displaystyle KL=IK=\sqrt2\cdot FI=2-\sqrt2\).

A keresett kerület:

\(\displaystyle K_k=OJ+JI+IK+KL+LM+MO=2\cdot OJ+2\cdot JI+2\cdot IK=\)

\(\displaystyle 2\cdot\frac{\sqrt2}{2}+2\cdot\frac{2-\sqrt2}{2}+2\cdot(2-\sqrt2)=\sqrt2+2-\sqrt2+4-2\sqrt2=6-2\sqrt2≈3,1716.\)

A keresett terület:

\(\displaystyle T_k=T_{ABC}-T_{BMO}-T_{CKL}-T_{AIJ}=\frac{\sqrt2^2}{2}-\frac12\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-\frac12\cdot(\sqrt2-1)^2-\frac12\cdot\left(\frac{2-\sqrt2}{2}\right)^2=\)

\(\displaystyle =1-\frac14-\frac32+\frac{2\sqrt2}{2}-\frac34+\frac{\sqrt2}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}-\frac32=\frac{3\cdot(\sqrt2-1)}{2}≈0,6213.\)


Statisztika:

164 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:70 versenyző.
4 pontot kapott:27 versenyző.
3 pontot kapott:20 versenyző.
2 pontot kapott:13 versenyző.
1 pontot kapott:15 versenyző.
0 pontot kapott:19 versenyző.

A KöMaL 2018. januári matematika feladatai