Problem C. 1458. (January 2018)

C. 1458. Solve the following equation on the set of real numbers:

\(\displaystyle \sqrt{x+11} + \sqrt{x^2+11x} -\sqrt{x} -x=4. \)

(5 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A gyökös kifejezések miatt a \(\displaystyle 0≤x\) kikötést tesszük. Az egyenlet bal oldalán a második gyökös kifejezést alakítsuk szorzattá:

\(\displaystyle \sqrt{x+11}+\sqrt{x+11}\cdot\sqrt x-\sqrt x-x-4=0.\)

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (\(\displaystyle -2\))-vel:

\(\displaystyle -2\sqrt{x+11}-2\sqrt{x+11}\cdot\sqrt x+2\sqrt x+2x+8=0.\)

Bal oldalon a második tagot tekinthetjük egy teljes négyzet kétszeres szorzatának:

\(\displaystyle \left(\sqrt{x+11}-\sqrt x\right)^2=x+11-2\sqrt{x+11}\cdot\sqrt x+x.\)

Ennek megfelelően rendezzük az egyenletünk bal oldalát:

\(\displaystyle x+11-2\sqrt{x+11}\cdot\sqrt x+x-2\sqrt{x+11}+2\sqrt x-3=0,\)

\(\displaystyle \left(\sqrt{x+11}-\sqrt x\right)^2-2(\sqrt{x+11}-\sqrt x)-3=0.\)

Vezessük be az \(\displaystyle y=(\sqrt{x+11}-\sqrt x)\) új változót. Ekkor a következő másodfokú egyenletet kapjuk: \(\displaystyle y^2-2y-3=0\), melynek megoldásai: \(\displaystyle y_1=3\) és \(\displaystyle y_2=-1\).

Az \(\displaystyle y_1=3\) értéket visszahelyettesítve:

\(\displaystyle \sqrt{x+11}-\sqrt x=3.\)

Mindkét oldalt négyzetre emelve:

\(\displaystyle x+11-2\sqrt{x+11}\cdot\sqrt x+x=9.\)

Rendezve és 2-vel osztva:

\(\displaystyle x+1=\sqrt{x+11}\cdot\sqrt x.\)

Újra négyzetre emelve: \(\displaystyle x^2+2x+1=x^2+11x\), amiből \(\displaystyle x=\frac19\).

Az \(\displaystyle y_2=-1\) értéket visszahelyettesítve, majd rendezve az egyenletet:

\(\displaystyle \sqrt{x+11}=\sqrt x-1.\)

Mindkét oldalt négyzetre emelve:

\(\displaystyle x+11=x-2\sqrt x+1.\)

Rendezve és leosztva \(\displaystyle -2\)-vel: \(\displaystyle -5=\sqrt x\) . Látszik, hogy itt nincs valós megoldás.

Egyetlen lehetséges megoldást kaptunk: \(\displaystyle x=\frac19\), melyet behelyettesítve az eredeti egyenletbe:

\(\displaystyle \sqrt{x+11}+\sqrt{x^2+11x}-\sqrt x-x-4=\)

\(\displaystyle \sqrt{\frac19+\frac{99}{9}}+\sqrt{\frac{1}{81}+\frac{99}{9}\cdot\frac19}-\frac13-\frac19=\)

\(\displaystyle =\frac{10}{3}+\frac{10}{9}-\frac39-\frac19=4,\)

tehát valóban megoldás.

Statistics:

162 students sent a solution.
5 points:	64 students.
4 points:	43 students.
3 points:	9 students.
2 points:	7 students.
1 point:	17 students.
0 point:	19 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2018