Problem C. 1460. (January 2018)

C. 1460. A special snowflake with rotational symmetry is developing as follows: in every second, a new branch of one third the length grows from the midpoint of each terminal branch of the snowflake. (The diagram shows the initial shape of the snowflake and the two successive stages of the process.) Given that the diameter of the snowflake is 4.32 mm, how many terminal branches of length 10 micrometres will it have in 6 seconds?

(5 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A hat ág közül elég egyet vizsgálni. Nézzük meg, mi történik egy másodpercben ezen az egy ágon.

Minden, az előző másodperc végén létező ágból létrejön egy feleakkora és két harmad akkora ág. Tehát, amikor a végződések hossza feleződik, akkor egy ág keletkezik, amikor harmadolódik, akkor pedig kettő.

Kezdetben egy ág hossza az átmérő fele: \(\displaystyle 2,16~\mathrm{mm}=2160~\mathrm{μm}\). A \(\displaystyle 10\) μm hosszú végződések számát keressük.

\(\displaystyle \frac{10}{2160}=\frac{1}{216}=\left(\frac12\right)^3\cdot\left(\frac13\right)^3.\)

Ez azt jelenti, hogy a \(\displaystyle 10\) μm-es végződéshez \(\displaystyle 3\)-szor választjuk a felező lehetőséget, ahol egy ág keletkezik és \(\displaystyle 3\)-szor a harmadoló lehetőséget, ahol kettő.

A \(\displaystyle 6\) lehetőségből 6alatt a \(\displaystyle 3\)-féleképpen választhatjuk ki, hogy mikor legyen a harmadolás, ez \(\displaystyle 20\) lehetőség, viszont a harmadoló ágakból mindig kettő van, így ezt szoroznunk kell még \(\displaystyle 2^3\)-nal. Ezért egy ágon \(\displaystyle 160\) db \(\displaystyle 10\) μm-es végződés lesz \(\displaystyle 6\) sec elteltével.

Az egész hópelyhen ennek \(\displaystyle 6\)-szorosa, vagyis \(\displaystyle 960\) darab.

Statistics:

52 students sent a solution.
5 points:	Ajtai Boglárka, Almási Adél Csilla, Balog 518 Lóránd, Böcskei Bálint Attila, Bukor Benedek, Debreczeni Ákos, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Gárdonyi Csilla Dóra, Jankovits András, Kovács 161 Márton Soma, Lajkó Áron, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Rittgasszer Ákos, Sal Dávid, Spányik Teodor, Surján Anett, Szajkó Szilvia, Szécsi Adél Lilla, Szűcs 865 Eszter, Vlaszov Artúr.
4 points:	Gálffy Veronika, Lénárd Kristóf, Tóth Imre, Wolff Vilmos.
3 points:	4 students.
2 points:	5 students.
1 point:	5 students.
0 point:	11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2018