Problem C. 1461. (January 2018)

C. 1461. The operation \(\displaystyle \circ\) is defined on positive integers. Given that \(\displaystyle i)\) \(\displaystyle 1 \circ 1=3\); \(\displaystyle ii)\) \(\displaystyle a\circ b=b\circ a\) for all \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\); \(\displaystyle iii)\) \(\displaystyle a \circ (b+1) = a\circ b + (a+1) + 2b\) for all \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), determine the value of \(\displaystyle 2017\circ 2018\).

(5 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A harmadik műveleti tulajdonság: \(\displaystyle a০(b+1)=a০b+a+1+2b\).

Ezt felhasználva növeljük először a jobb oldali változó értékét \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 2018\)-ig.

\(\displaystyle a_1=1০1=3,\)

\(\displaystyle a_2=1০2=1০(1+1)=a_1+2+2\cdot1,\)

\(\displaystyle a_3=1০3=1০(2+1)=a_2+2+2\cdot2,\)

\(\displaystyle a_4=1০4=1০(3+1)=a_3+2+2\cdot3,\)

\(\displaystyle …\)

\(\displaystyle a_{2017}=1০2017=1০(2016+1)=a_{2016}+2+2\cdot2016,\)

\(\displaystyle a_{2018}=1০2018=1০(2017+1)=a_{2017}+2+2\cdot2017.\)

Ezt felhasználva:

\(\displaystyle a_{2018}=3+2017\cdot2+2(1+2+3+...+2016+2017)=\)

\(\displaystyle =3+4034+2\cdot\frac{1+2017}{2}\cdot2017=4\,074\,343=A.\)

\(\displaystyle A=1০2018=2018০1.\)

Most növeljük újra a jobb oldali változó értékét \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 2017\)-ig.

\(\displaystyle b_1=2018০1=A,\)

\(\displaystyle b_2=2018০2=2018০(1+1)=b_1+2019+2\cdot1,\)

\(\displaystyle b_3=2018০3=2018০(2+1)=b_2+2019+2\cdot2,\)

\(\displaystyle b_4=2018০4=2018০(3+1)=b_3+2019+2\cdot3,\)

\(\displaystyle …\)

\(\displaystyle b_{2016}=2018০2016=2018০(2015+1)=b_{2015}+2019+2\cdot2015,\)

\(\displaystyle b_{2017}=2018০2017=2018০(2016+1)=b_{2016}+2019+2\cdot2016.\)

Ezt felhasználva:

\(\displaystyle b_{2017}=A+2016\cdot2019+2(1+2+3+...+2015+2016)=\)

\(\displaystyle =4\,074\,343+4\,070\,304+2\cdot\frac{1+2016}{2}\cdot2016=12\,210\,919.\)

Tehát \(\displaystyle 2017০2018=2018০2017=b_{2017}=12\,210\,919\).

Statistics:

50 students sent a solution.
5 points:	Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Balog 518 Lóránd, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Gárdonyi Csilla Dóra, Jankovits András, Lajkó Áron, Magyar 257 Boglárka, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Nyitrai Boglárka, Paksi Barnabás, Pipis Panna, Rittgasszer Ákos, Spányik Teodor, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla, Varga 269 Viktor, Veres Kata.
4 points:	Bíró Dániel, Dékány Barnabás, Kálóczi Kornél, Pszota Máté, Sal Dávid, Vlaszov Artúr.
3 points:	7 students.
2 points:	9 students.
1 point:	1 student.
0 point:	7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2018