Problem C. 1463. (February 2018)

C. 1463. \(\displaystyle M\) is an interior point of a regular triangle \(\displaystyle ABC\). The feet of the perpendiculars dropped from \(\displaystyle M\) onto the sides \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) and \(\displaystyle CA\) are \(\displaystyle H\), \(\displaystyle K\) and \(\displaystyle P\), respectively. Prove that

\(\displaystyle (i)\) \(\displaystyle {|AH|}^2+{|BK|}^2+{|CP|}^2= {|HB|}^2+{|KC|}^2+{|PA|}^2\);

\(\displaystyle (ii)\) \(\displaystyle |AH|+|BK|+|CP|= |HB|+|KC|+|PA|\).

(Mathematical Competitions in Croatia)

(5 pont)

Deadline expired on March 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle (i)\) Használjuk az 1. ábra jelöléseit.

1. ábra

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt a derékszögű részháromszögekre:

\(\displaystyle a^2=|AH|^2+x^2,\)

\(\displaystyle a^2=|PA|^2+z^2,\)

\(\displaystyle b^2=|HB|^2+x^2,\)

\(\displaystyle b^2=|BK|^2+y^2,\)

\(\displaystyle c^2=|KC|^2+y^2,\)

\(\displaystyle c^2=|CP|^2+z^2.\)

Ebből a kék szakaszokra: \(\displaystyle a^2+b^2+c^2=|AH|^2+x^2+|BK|^2+y^2 +|CP|^2+z^2\).

A piros szakaszokra: \(\displaystyle a^2+b^2+c^2=|HB|^2+x^2+|KC|^2+y^2+|PA|^2+z^2\).

Ebből \(\displaystyle |AH|^2+x^2+|BK|^2+y^2 +|CP|^2+z^2=|HB|^2+x^2+|KC|^2+y^2+|PA|^2+z^2\), vagyis \(\displaystyle |AH|^2+|BK|^2+|CP|^2=|HB|^2+|KC|^2+|PA|^2\).

\(\displaystyle (ii)\) Legyenek az \(\displaystyle M\) ponton áthaladó \(\displaystyle A_1B_2\), \(\displaystyle B_1C_2\) és \(\displaystyle C_1A_2\) szakaszok párhuzamosak a megfelelő oldalakkal a 2. ábra szerint.

2. ábra

\(\displaystyle MH\), \(\displaystyle MK\) és \(\displaystyle MP\) rendre a \(\displaystyle B_1MA_2\), \(\displaystyle C_1MB_2\) és \(\displaystyle A_1MC_2\) szabályos háromszögek súlyvonalai, továbbá \(\displaystyle |AA_1|=|A_2M|=|B_1M|=|BB_2|\), \(\displaystyle |BB_1|=|B_2M|=|C_1M|=|CC_2|\) és \(\displaystyle |CC_1|=|C_2M|=|A_1M|=|AA_2|\). Mindebből kapjuk, hogy

\(\displaystyle |AH|+|BK|+|CP|=|AA_2|+|A_2H|+|BB_2|+|B_2K|+|CC_2|+|C_2P|=\)

\(\displaystyle =|C_1C|+|HB_1|+|A_1A|+|KC_1|+|B_1B|+|PA_1|=\)

\(\displaystyle =|HB_1|+|B_1B|+|KC_1|+|C_1C|+|PA_1|+|A_1A|=|HB|+|KC|+|PA|.\)

Statistics:

74 students sent a solution.
5 points:	Ács Imre, Al-Hag Máté Amin, Andó Viola, Bérczi Péter, Biró 424 Ádám, Csóti Balázs , Czett Mátyás, Debreczeni Dorina, Fonyi Máté Sándor, Forgács Kata, Gál Bence, Gém Viktória, Hámori Janka, Harmath Eszter, Hordós Adél Zita, Horváth Antal, Jánosdeák Márk, Kerekes Boldizsár, Kis 194 Károly, Kiss 014 Dávid, Kovács 157 Zita, Kovács Fruzsina Dóra, Kovács-Deák Zsombor, Markó Gábor, Nagy 202 Eszter , Pinke Andrea, Rusvai Miklós, Shuborno Das, Szőke Péter, Urszuly Csenge, Veibli-Magyari Kristóf, Werner András.
4 points:	Ámmer Fanni, Dózsa Ferenc, Horváth 999 Anikó, Oláh Zsófia, Schenk Anna, Székelyhidi Klára.
3 points:	30 students.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2018