Problem C. 1468. (February 2018)

C. 1468. Prove that for all non-negative numbers \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\)

\(\displaystyle \frac12 {(a+b)}^2+\frac14(a+b)\ge a\sqrt b+b\sqrt a\,. \)

When will the equality hold?

(5 pont)

Deadline expired on March 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Kiemeléssel alakítsuk szorzattá a jobb oldalon álló összeget:

\(\displaystyle \frac12(a+b)^2+\frac14(a+b)≥\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b).\)

Használjuk a számtani és mértani közép közötti összefüggést: \(\displaystyle \frac{a+b}{2}(\sqrt a+\sqrt b)\geq\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)\).

Tehát elég belátni, hogy \(\displaystyle \frac12(a+b)^2+\frac14(a+b)≥\frac{a+b}{2}(\sqrt a+\sqrt b)\).

Ha \(\displaystyle a=b=0\), akkor a két oldal nyilván egyenlő. Egyébként mindkét oldalt leosztjuk az \(\displaystyle \frac{a+b}{2}>0\) kifejezéssel: \(\displaystyle a+b+\frac12≥\sqrt a+\sqrt b\).

Rendezzük balra és csoportosítsuk a tagokat:

\(\displaystyle a-\sqrt a+\frac14+b-\sqrt b+\frac14≥0.\)

Alakítsuk teljes négyzetté:

\(\displaystyle \left(\sqrt a-\frac12\right)^2+\left(\sqrt b-\frac12\right)^2≥0.\)

Két szám négyzetének összege nem lehet \(\displaystyle 0\)-nál kisebb, tehát az állítás igaz.

Egyenlőség akkor állhat fenn, ha az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) szám számtani és mértani közepe egyenlő, vagyis ha \(\displaystyle a=b\). Ekkor vagy \(\displaystyle a=b=0\) esetén van egyenlőség, vagy \(\displaystyle a=b=\frac14\) esetén.

Statistics:

43 students sent a solution.
5 points:	Agócs Katinka, Balog 518 Lóránd, Kiszelovics Dorina, Magyar 257 Boglárka, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Spányik Teodor, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla.
4 points:	Almási Adél Csilla, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Gárdonyi Csilla Dóra, Gárgyán Barnabás, Jankovits András, Kovács 161 Márton Soma, Nyitrai Boglárka, Paksi Barnabás, Rittgasszer Ákos, Tóth Imre, Wolff Vilmos.
3 points:	5 students.
2 points:	1 student.
1 point:	10 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2018