Problem C. 1476. (April 2018)

C. 1476. Prove that the inequality

\(\displaystyle \frac{{(y-6)}^2}{3xy}+x\cdot \frac{y+3}{y}\ge 4+x-\frac{4}{x}-\frac{xy}{12} \)

holds for all positive \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tudjuk, hogy \(\displaystyle x,y>0\). Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát \(\displaystyle 12xy\)-nal. Ekkor

\(\displaystyle 4(y-6)^2+12x^2 (y+3)≥48xy+12x^2 y-48y-x^2 y^2.\)

Bal oldalon elvégezve a műveleteket, majd balra rendezve:

\(\displaystyle 4y^2-48y+144+12x^2 y+36x^2≥48xy+12x^2 y-48y-x^2 y^2,\)

\(\displaystyle 4y^2+144+36x^2-48xy+x^2 y^2≥0.\)

Teljes négyzeteket alakítunk ki:

\(\displaystyle 4y^2-24xy+36x^2+x^2 y^2-24xy+144≥0,\)

\(\displaystyle (2y-6x)^2+(xy-12)^2≥0.\)

Két szám négyzetének összege nem lehet negatív. Mivel minden lépés megfordítható, ezért az állítás igaz.

Statistics:

82 students sent a solution.
5 points:	62 students.
4 points:	5 students.
3 points:	3 students.
2 points:	5 students.
1 point:	5 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018