Problem C. 1477. (April 2018)
C. 1477. Prove that if there is a point \(\displaystyle E\) on base \(\displaystyle AD\) of a trapezium \(\displaystyle ABCD\) such that the perimeters of triangles \(\displaystyle ABE\), \(\displaystyle BCE\) and \(\displaystyle CDE\) are equal then \(\displaystyle BC=\frac12 AD\).
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.
Húzzuk meg a trapéz magasságát a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle E\) pontokban. Tudjuk, hogy az \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle BCE\) háromszögek kerülete egyenlő. \(\displaystyle BE\) oldaluk közös, \(\displaystyle BH=EF\), mert a \(\displaystyle BHEF\) téglalap szemközti oldalai. Ezért a kerületek csak akkor lehetnek egyelők, ha \(\displaystyle b+f=e+h\).
Az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle CHE\) derékszögű háromszögekben felírva Pitagorasz-tételét:
\(\displaystyle b^2-f^2=(b-f)(b+f)=m^2 \mathrm{~és~} e^2-h^2=(e-h)(e+h)=m^2.\)
Ebből látszik, hogy \(\displaystyle b-f=e-h\) is igaz, amiből \(\displaystyle b=e\) és így \(\displaystyle f=h\) következik. Ezért \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle BCE\) egybevágó háromszögek, mert mindhárom oldaluk egyenlő.
Hasonlóan balátható, hogy \(\displaystyle CDE\) és \(\displaystyle BCE\) is egybevágó háromszögek. Így \(\displaystyle BC=AE=ED\), tehát \(\displaystyle BC=\frac12 (AE+ED)=\frac12 AD\).
Statistics:
53 students sent a solution. 5 points: Ács Imre, Al-Hag Máté Amin, Czett Mátyás, Görcs András, Hordós Adél Zita, Imre Tamás, Kovács 157 Zita, Markó Gábor, Shuborno Das, Szalontai Kinga Sára. 4 points: Biró 424 Ádám, Fonyi Máté Sándor, Gém Viktória, Imreh Júlia, Kis 194 Károly, Lukács Emma, Rusvai Miklós, Szőke Péter, Williams Hajna. 3 points: 2 students. 2 points: 5 students. 1 point: 14 students. 0 point: 13 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018