Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1477. (April 2018)

C. 1477. Prove that if there is a point \(\displaystyle E\) on base \(\displaystyle AD\) of a trapezium \(\displaystyle ABCD\) such that the perimeters of triangles \(\displaystyle ABE\), \(\displaystyle BCE\) and \(\displaystyle CDE\) are equal then \(\displaystyle BC=\frac12 AD\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Húzzuk meg a trapéz magasságát a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle E\) pontokban. Tudjuk, hogy az \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle BCE\) háromszögek kerülete egyenlő. \(\displaystyle BE\) oldaluk közös, \(\displaystyle BH=EF\), mert a \(\displaystyle BHEF\) téglalap szemközti oldalai. Ezért a kerületek csak akkor lehetnek egyelők, ha \(\displaystyle b+f=e+h\).

Az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle CHE\) derékszögű háromszögekben felírva Pitagorasz-tételét:

\(\displaystyle b^2-f^2=(b-f)(b+f)=m^2 \mathrm{~és~} e^2-h^2=(e-h)(e+h)=m^2.\)

Ebből látszik, hogy \(\displaystyle b-f=e-h\) is igaz, amiből \(\displaystyle b=e\) és így \(\displaystyle f=h\) következik. Ezért \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle BCE\) egybevágó háromszögek, mert mindhárom oldaluk egyenlő.

Hasonlóan balátható, hogy \(\displaystyle CDE\) és \(\displaystyle BCE\) is egybevágó háromszögek. Így \(\displaystyle BC=AE=ED\), tehát \(\displaystyle BC=\frac12 (AE+ED)=\frac12 AD\).


Statistics:

53 students sent a solution.
5 points:Ács Imre, Al-Hag Máté Amin, Czett Mátyás, Görcs András, Hordós Adél Zita, Imre Tamás, Kovács 157 Zita, Markó Gábor, Shuborno Das, Szalontai Kinga Sára.
4 points:Biró 424 Ádám, Fonyi Máté Sándor, Gém Viktória, Imreh Júlia, Kis 194 Károly, Lukács Emma, Rusvai Miklós, Szőke Péter, Williams Hajna.
3 points:2 students.
2 points:5 students.
1 point:14 students.
0 point:13 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018