Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1478. (April 2018)

C. 1478. Given that a six-digit number is divisible by \(\displaystyle 37\), its digits are all different, and \(\displaystyle 0\) does not occur among them, show that at least six more numbers divisible by \(\displaystyle 37\) can be obtained by changing the order of the digits.

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nézzük meg, hogy a hatjegyű szám helyi értékei milyen maradékot adnak 37-tel osztva:

1. 2. 3. 4. 5. 6.
\(\displaystyle 10^5\)\(\displaystyle 10^4\) \(\displaystyle 10^3\) \(\displaystyle 10^2\) \(\displaystyle 10\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 26\) \(\displaystyle 10\) \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle 26\) \(\displaystyle 10\) \(\displaystyle 1\)

Mivel a számjegyek között nincs \(\displaystyle 0\), ezért az első és a negyedik, a második és az ötödik valamint a harmadik és a hatodik számjegy felcserélhető anélkül, hogy az osztási maradék megváltozna. Tehát a számjegyek cseréjével \(\displaystyle 2^3=8\) különböző számot tudunk létrehozni, melyeknek azonos a maradéka. Ez azt jelenti, hogy ha van egy hatjegyű, különböző számjegyekből álló \(\displaystyle 37\)-tel osztható számunk, ahol a számjegyek közt nincs nulla, akkor a fenti számjegyek cseréjével még hét másik számot kapunk, melyek szintén oszthatók \(\displaystyle 37\)-tel.


Statistics:

86 students sent a solution.
5 points:62 students.
4 points:6 students.
3 points:6 students.
2 points:9 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018