Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1480. feladat (2018. április)

C. 1480. Oldjuk meg az

\(\displaystyle \frac{x^3-7x+6}{x-2}=\frac{2x+14}{x+2} \)

egyenletet az egész számok halmazán.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A nevezők miatt \(\displaystyle x≠2\) és \(\displaystyle x≠-2\). Alakítsuk szorzattá a harmadfokú kifejezést:

\(\displaystyle x^3-7x+6=x^3-2x^2+2x^2-4x-3x+6=(x-2)(x^2+2x-3)= (x-2)(x+3)(x-1).\)

Így az egyenletünk

\(\displaystyle \frac{(x-2)(x+3)(x-1)}{x-2}=\frac{2x+4+10}{x+2}.\)

Bal oldalon \(\displaystyle (x-2)\neq=0\)-val egyszerűsítve, jobb oldalon \(\displaystyle (x+2)\neq=0\)-val tagonként leosztva:

\(\displaystyle (x+3)(x-1)=2+\frac{10}{x+2}.\)

A bal oldal egész, így a jobb oldal, és ezért \(\displaystyle \frac{10}{x+2}\) is az. Tehát \(\displaystyle z=x+2\) lehetséges értékei \(\displaystyle 10\) osztói: \(\displaystyle -10\), \(\displaystyle -5\), \(\displaystyle -2\), \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 10\).

\(\displaystyle (z+1)(z-3)=2+\frac{10}{z}\)

\(\displaystyle z\) \(\displaystyle -10\) \(\displaystyle -5\) \(\displaystyle -2\) \(\displaystyle -1\) \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle 2\) \(\displaystyle 5\) \(\displaystyle 10\)
bal oldal \(\displaystyle 117\) \(\displaystyle 32\) \(\displaystyle 5\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle -4\) \(\displaystyle -3\) \(\displaystyle 12\) \(\displaystyle 77\)
jobb oldal \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle -3\) \(\displaystyle -8\) \(\displaystyle 12\) \(\displaystyle 7\) \(\displaystyle 4\) \(\displaystyle 3\)

Az egyenletnek nincs megoldása az egész számok halmazán.


Statisztika:

134 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:59 versenyző.
4 pontot kapott:22 versenyző.
3 pontot kapott:20 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:13 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai