Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

Problem C. 1480. (April 2018)

C. 1480. Solve the equation

$\displaystyle \frac{x^3-7x+6}{x-2}=\frac{2x+14}{x+2}$

on the set of integers.

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A nevezők miatt $\displaystyle x≠2$ és $\displaystyle x≠-2$. Alakítsuk szorzattá a harmadfokú kifejezést:

$\displaystyle x^3-7x+6=x^3-2x^2+2x^2-4x-3x+6=(x-2)(x^2+2x-3)= (x-2)(x+3)(x-1).$

Így az egyenletünk

$\displaystyle \frac{(x-2)(x+3)(x-1)}{x-2}=\frac{2x+4+10}{x+2}.$

Bal oldalon $\displaystyle (x-2)\neq=0$-val egyszerűsítve, jobb oldalon $\displaystyle (x+2)\neq=0$-val tagonként leosztva:

$\displaystyle (x+3)(x-1)=2+\frac{10}{x+2}.$

A bal oldal egész, így a jobb oldal, és ezért $\displaystyle \frac{10}{x+2}$ is az. Tehát $\displaystyle z=x+2$ lehetséges értékei $\displaystyle 10$ osztói: $\displaystyle -10$, $\displaystyle -5$, $\displaystyle -2$, $\displaystyle -1$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 10$.

$\displaystyle (z+1)(z-3)=2+\frac{10}{z}$

 $\displaystyle z$ $\displaystyle -10$ $\displaystyle -5$ $\displaystyle -2$ $\displaystyle -1$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle 2$ $\displaystyle 5$ $\displaystyle 10$ bal oldal $\displaystyle 117$ $\displaystyle 32$ $\displaystyle 5$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -4$ $\displaystyle -3$ $\displaystyle 12$ $\displaystyle 77$ jobb oldal $\displaystyle 1$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -3$ $\displaystyle -8$ $\displaystyle 12$ $\displaystyle 7$ $\displaystyle 4$ $\displaystyle 3$

Az egyenletnek nincs megoldása az egész számok halmazán.

Statistics:

 134 students sent a solution. 5 points: 59 students. 4 points: 22 students. 3 points: 20 students. 2 points: 8 students. 1 point: 13 students. 0 point: 10 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018