Problem C. 1481. (April 2018)

C. 1481. The vertices of a regular octagon inscribed in a circle of radius \(\displaystyle 2\) are connected in three different ways, as shown in the figure: each vertex with the adjacent vertices, each vertex with the second adjacent vertices, and finally, each vertex with the third adjacent vertices. Prove that the product of the radii of the three inscribed circles is \(\displaystyle 2\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Az \(\displaystyle OAF\) derékszögű háromszögben

\(\displaystyle α=\frac{AOB∡}{2}=\frac{45°}{2}=22,5°,\)

\(\displaystyle r_1=2\cdot\cos22,5°.\)

1. ábra

A 2. ábrán jól látható, hogy

\(\displaystyle r_3=\frac{AB}{2}=AF=2\cdot\sin22,5°.\)

2. ábra

A 3. ábra alapján az \(\displaystyle OCM\) derékszögű, egyenlő szárú háromszögben

\(\displaystyle r_2=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.\)

3. ábra

A három sugár szorzata:

\(\displaystyle r_1\cdot r_2\cdot r_3=2\sqrt2\cdot 2\cos22,5°\cdot \sin22,5°=2\sqrt2\sin45°=\frac{2\sqrt2}{\sqrt2}=2.\)

Megjegyzés. A pontlevonások szinte mindegyike hiányos indoklásból adódott. Jellemzően a szögek nagyságát nem indokolták egyes versenyzők, de olyanok is voltak, akik közelítő értékkel számoltak, számolási hibát vétettek, vagy a képleten túl semmilyen indoklást nem nyújtottak.

Statistics:

31 students sent a solution.
5 points:	Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Bukor Benedek, Dobay Ádám, Jankovits András, Magyar 257 Boglárka, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Spányik Teodor, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla.
4 points:	Almási Adél Csilla, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Gálffy Veronika, Kis-Tóth Janka, Kiszelovics Dorina, Kovács 161 Márton Soma, Nyitrai Boglárka, Paksi Barnabás, Rittgasszer Ákos, Sal Dávid, Szőnyi Laura, Vlaszov Artúr.
3 points:	6 students.
2 points:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018