Problem C. 1482. (April 2018)

C. 1482. Prove that

\(\displaystyle \big|2\sin x +\sin {(2x)}\big| < \frac{3+2\sqrt2}{2}\,. \)

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle f(x)=2\sin x+\sin 2x\). Ez a függvény folytonos és deriválható a \(\displaystyle [0;2π]\) intervallumon. Mivel \(\displaystyle \sin x\) periódusa \(\displaystyle 2\pi\), \(\displaystyle \sin 2x\) periódusa pedig \(\displaystyle \pi\), ezért \(\displaystyle f(x)\) periódusa \(\displaystyle 2π\).

\(\displaystyle f'(x)=2\cos x+2\cos2x=2(\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x)=\)

\(\displaystyle 2(\cos x+\cos^2 x-(1-\cos^2 x))=2(2\cos^2 x+\cos x-1).\)

Keressük meg a függvény szélsőértékeit a \(\displaystyle [0;2π]\) intervallumon:

\(\displaystyle f' (x)=0,\)

\(\displaystyle 2\cos^2 x+\cos x-1=0.\)

Megoldások: \(\displaystyle \cos x=-1\), amiből \(\displaystyle x_1=π\); \(\displaystyle \cos x=\frac12\), amiből \(\displaystyle x_2=\frac{\pi}{3}\) és \(\displaystyle x_3=\frac{5\pi}{3}\). Mivel \(\displaystyle f(π)=2\sin π+\sin 2π=0\), \(\displaystyle f\left(\frac π3\right)=2\sin \frac π3+\sin \frac{2π}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\) és \(\displaystyle f\left(\frac{5π}{3}\right)=-3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\), ezért a függvény minimuma \(\displaystyle -3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\), maximuma pedig \(\displaystyle 3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\).

Tehát \(\displaystyle -3 \cdot\frac{\sqrt3}{2}≤2\sin x+\sin 2x≤3\cdot \frac{\sqrt3}{2}\).

Be kell még látnunk, hogy \(\displaystyle 3\cdot\frac{\sqrt3}{2}<\frac{3+2\sqrt2}{2}\), vagyis \(\displaystyle 3\sqrt3<3+2\sqrt2\).

Négyzetre emelve: \(\displaystyle 27<17+12\sqrt2\), vagyis \(\displaystyle 10<12\sqrt2\), ami láthatóan igaz, mert \(\displaystyle 1<\sqrt2\). Ez azt jelenti, hogy

\(\displaystyle -\frac{3+2\sqrt2}{2}<2\sin x+\sin 2x<\frac{3+2\sqrt2}{2}.\)

Statistics:

32 students sent a solution.
5 points:	Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Almási Adél Csilla, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Jankovits András, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Nyitrai Boglárka, Spányik Teodor, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla.
4 points:	Gárgyán Barnabás, Kovács 161 Márton Soma, Magyar 257 Boglárka, Sal Dávid, Szőnyi Laura, Tóth Imre, Wolff Vilmos.
3 points:	1 student.
1 point:	11 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018