 |
A C. 1483. feladat (2018. május) |
C. 1483. Mennyi a \(\displaystyle 6|x - 1| + 5|x - 2| + 4|x - 3| + 3|x + 4| + 2|x - 5|\) kifejezés legkisebb értéke?
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha \(\displaystyle x<-4\), akkor
\(\displaystyle f(x)=-6(x-1)-5(x-2)-4(x-3)-3(x+4)-2(x-5)=-20x+26,\)
ami szig. mon. csökkenő függvény. Ha \(\displaystyle 5<x\), akkor
\(\displaystyle f(x)=6(x-1)+5(x-2)+4(x-3)+3(x+4)+2(x-5)=20x-26,\)
ami szig. mon. növekvő függvény.
Az \(\displaystyle x∈[-4;5]\) intervallumon a függvény képe egymáshoz kapcsolódó egyenes szakaszokból áll, melyek meredeksége nem nulla. Ezért a minimum csak olyan pontban lehet, ahol valamelyik abszolút értékben lévő kifejezés értéke nulla, mivel ott változik az egyenes meredeksége.
\(\displaystyle f(-4)=30+30+28+0+18=106,\)
\(\displaystyle f(1)=0+5+8+15+8=36,\)
\(\displaystyle f(2)=6+0+4+18+6=34,\)
\(\displaystyle f(3)=12+5+0+21+4=42,\)
\(\displaystyle f(5)=24+15+8+27+0=74.\)
Tehát a függvény legkisebb értéke \(\displaystyle 34\), ezt \(\displaystyle x=2\)-nél veszi fel.
Statisztika:
75 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Andó Viola, Balázs Réka, Biró 424 Ádám, Csóti Balázs , Csóti Kristóf, Czett Mátyás, Debreczeni Dorina, Fodor Marcel, Fonyi Máté Sándor, Forgács Kata, Földvári Ádám, Gál Bence, Gém Viktória, Görcs András, Hámori Janka, Hordós Adél Zita, Imre Tamás, Jánosdeák Márk, Kalabay László, Kerekes Boldizsár, Kis 194 Károly, Kiss 014 Dávid, Koleszár Domonkos, Kovács 157 Zita, Markó Gábor, Mendei Barna, Nagy 202 Eszter , Németh Kristóf, Papp Márton, Pinke Andrea, Rusvai Miklós, Schenk Anna, Shuborno Das, Szalontai Kinga Sára, Székelyhidi Klára, Szőke Péter, Trombitás Hanna Lívia, Trombitás Karolina Sarolta, Williams Hajna. 4 pontot kapott: Ajtai Janka, Bérczi Péter, Demcsák Ágnes, Harmath Eszter, Országh Júlia, Purgel Dóra, Rékási Bence. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 14 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző.
A KöMaL 2018. májusi matematika feladatai