Problem C. 1483. (May 2018)
C. 1483. What is the smallest value of the expression \(\displaystyle 6|x - 1| + 5|x - 2| + {4|x - 3|} + 3|x + 4| + 2|x - 5|\)?
(5 pont)
Deadline expired on June 11, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha \(\displaystyle x<-4\), akkor
\(\displaystyle f(x)=-6(x-1)-5(x-2)-4(x-3)-3(x+4)-2(x-5)=-20x+26,\)
ami szig. mon. csökkenő függvény. Ha \(\displaystyle 5<x\), akkor
\(\displaystyle f(x)=6(x-1)+5(x-2)+4(x-3)+3(x+4)+2(x-5)=20x-26,\)
ami szig. mon. növekvő függvény.
Az \(\displaystyle x∈[-4;5]\) intervallumon a függvény képe egymáshoz kapcsolódó egyenes szakaszokból áll, melyek meredeksége nem nulla. Ezért a minimum csak olyan pontban lehet, ahol valamelyik abszolút értékben lévő kifejezés értéke nulla, mivel ott változik az egyenes meredeksége.
\(\displaystyle f(-4)=30+30+28+0+18=106,\)
\(\displaystyle f(1)=0+5+8+15+8=36,\)
\(\displaystyle f(2)=6+0+4+18+6=34,\)
\(\displaystyle f(3)=12+5+0+21+4=42,\)
\(\displaystyle f(5)=24+15+8+27+0=74.\)
Tehát a függvény legkisebb értéke \(\displaystyle 34\), ezt \(\displaystyle x=2\)-nél veszi fel.
Statistics:
75 students sent a solution. 5 points: Andó Viola, Balázs Réka, Biró 424 Ádám, Csóti Balázs , Csóti Kristóf, Czett Mátyás, Debreczeni Dorina, Fodor Marcel, Fonyi Máté Sándor, Forgács Kata, Földvári Ádám, Gál Bence, Gém Viktória, Görcs András, Hámori Janka, Hordós Adél Zita, Imre Tamás, Jánosdeák Márk, Kalabay László, Kerekes Boldizsár, Kis 194 Károly, Kiss 014 Dávid, Koleszár Domonkos, Kovács 157 Zita, Markó Gábor, Mendei Barna, Nagy 202 Eszter , Németh Kristóf, Papp Márton, Pinke Andrea, Rusvai Miklós, Schenk Anna, Shuborno Das, Szalontai Kinga Sára, Székelyhidi Klára, Szőke Péter, Trombitás Hanna Lívia, Trombitás Karolina Sarolta, Williams Hajna. 4 points: Ajtai Janka, Bérczi Péter, Demcsák Ágnes, Harmath Eszter, Országh Júlia, Purgel Dóra, Rékási Bence. 3 points: 7 students. 2 points: 1 student. 1 point: 14 students. 0 point: 7 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2018