Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1494. (September 2018)

C. 1494. Prove that if \(\displaystyle p\) and \(\displaystyle q\) are twin primes greater than 3, then their arithmetic mean is divisible by 6 and the number greater by 1 than their product is divisible by 36.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle p<q\). Mivel ikerprímek, így \(\displaystyle q=p+2\). Egyetlen páros prímszám van, tehát csak az lehetséges, hogy \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) is páratlan.

\(\displaystyle p>3\) és prímszám, ezért nem osztható hárommal. Lehetne \(\displaystyle p=3k-2\) alakú, ahol \(\displaystyle k>2\) egész, de ekkor \(\displaystyle q=p+2=3k\) lenne, ami hárommal osztható, így nem lehet prím.

Ezért \(\displaystyle p=3k-1\) alakú szám, és \(\displaystyle q=p+2=3k+1\) alakú. Mindkettő páratlan szám, így \(\displaystyle 3k\) páros, tehát \(\displaystyle k\) is páros szám. A számtani közepük: \(\displaystyle \frac{p+q}{2}=\frac{3k-1+3k+1}{2}=3k\), ami osztható \(\displaystyle 3\)-mal és páros, tehát osztható \(\displaystyle 6\)-tal.

Szorzatuk 1-gyel növelve: \(\displaystyle (3k-1)(3k+1)+1=9k^2-1+1=9k^2\). Mivel \(\displaystyle k\) páros szám, ezért négyzete osztható \(\displaystyle 4\)-gyel, vagyis \(\displaystyle 9k^2\) osztható \(\displaystyle 36\)-tal.


366 students sent a solution.
5 points:227 students.
4 points:55 students.
3 points:17 students.
2 points:17 students.
1 point:18 students.
0 point:14 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:18 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2018