Problem C. 1495. (September 2018)
C. 1495. Consider the following sequence of equalities:
$$\begin{align*} 1 + 2 & = 3, \tag{1}\\ 4 + 5 + 6 & = 7 + 8, \tag{2}\\ 9 + 10 + 11 + 12 & = 13 + 14 + 15. \tag{3} \end{align*}$$By observing the rule, state the \(\displaystyle k\)th row, and prove your statement.
Proposed by Á. Kertész, Miami Beach
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A \(\displaystyle k\)-adik sor bal oldala \(\displaystyle k^2\)-tel kezdődik, majd egyesével növelve még \(\displaystyle k\) tagot kell hozzáadni. Jobb oldalra a bal oldali utolsó tagot egyesével növelve \(\displaystyle k\) tagú összeget írunk. (A jobb oldal utolsó tagja így \(\displaystyle k^2+k+k\), ami \(\displaystyle (k+1)^2-1\), tehát a következő sor 1. tagja így valóban \(\displaystyle (k+1)^2\) lesz.) Ez alapján a \(\displaystyle k\). sor:
\(\displaystyle k^2+(k^2+1)+...+(k^2+k)=\left((k^2+k)+1\right)+...+\left((k^2+k)+k\right),\)
\(\displaystyle (k+1) k^2+\frac{(1+k}2\cdot k=k\cdot k^2+\frac{k+1+k+k}{2}\cdot k,\)
\(\displaystyle k^3+k^2+\frac{k^2}{2}+\frac k2=k^3+\frac{3k+1}{2}\cdot k,\)
\(\displaystyle k^3+\frac{3k^2}{2}+\frac k2=k^3+\frac{3k^2}2+\frac k2.\)
Mivel a lépések ekvivalensek voltak, így a \(\displaystyle k\)-adik sorban lévő összefüggés igaz.
Statistics:
115 students sent a solution. 5 points: Ajtai Boglárka, Andorfi István, Balaskó Dénes, Balogh Bence, Baráth László, Bolgár Janka, Borzon Márton, Bottlik Domonkos, Csahók Mihály, Csótai Zsófia, Debreczeni Tibor, Fülöp Sámuel Sihombing, Gálffy Veronika, Györfi Bence, Halász 237 Lajos, Hordós Adél Zita, Hunyadi Marcell, Jankovits András, Jost Márk Benedek, Juszt Anna, Kalabay László, Kardkovács Levente, Kim 666 Levente, Kis 194 Károly, Kovács-Deák Zsombor, Kozák 023 Balázs, Lukács Emma, Majerusz Ádám, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Német Franciska, Nyitrai Boglárka, Osvárt Bence Attila, Paksi Barnabás, Palencsár Enikő, Pálfi Bálint, Pálfi Fanni, Purzsa Aletta, Rosztoczy Csaba, Rozgonyi Gergely, Sal Dávid, Sebe Anna, Szalontai Kinga Sára, Szepesi Zoltán, Szigeti Donát, Teleki Sándor, Tóth 529 Petra. 4 points: 32 students. 3 points: 11 students. 2 points: 7 students. 1 point: 7 students. 0 point: 3 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 8 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2018