Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1497. feladat (2018. október)

C. 1497. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

$$\begin{align*} xy & =z,\\ xz & =y,\\ yz & =x. \end{align*}$$

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Összeszorozva a három egyenletet: \(\displaystyle (xyz)^2=xyz\).

Ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle xyz=0\) vagy \(\displaystyle xyz=1\).

Ha \(\displaystyle xyz=0\), akkor ha pl. \(\displaystyle z=0\), akkor a 2. és 3. egyenletből \(\displaystyle y=0\), illetve \(\displaystyle x=0\) következik. Hasonlóan, \(\displaystyle y=0\), illetve \(\displaystyle x=0\) esetén is kijön, hogy a másik két változó értéke is \(\displaystyle 0\). Tehát ebben az esetben egy megoldás van: \(\displaystyle x=y=z=0\).

Ha \(\displaystyle xyz=1\), akkor az \(\displaystyle xy\) helyére \(\displaystyle z\)-t beírva \(\displaystyle z^2=1\) adódik, és hasonlóan, \(\displaystyle y^2=1\) és \(\displaystyle x^2=1\). Ez azt jelenti, hogy a változók értéke \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle -1\) lehet, de úgy, hogy \(\displaystyle xyz=1\) teljesüljön. Így a következő megoldások adódnak, melyek az eredeti egyenletrendszert is kielégítik:

\(\displaystyle x\)\(\displaystyle y\)\(\displaystyle z\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle -1\)\(\displaystyle -1\)
\(\displaystyle -1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle -1\)
\(\displaystyle -1\)\(\displaystyle -1\)\(\displaystyle 1\)

Statisztika:

A C. 1497. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai