Problem C. 1497. (October 2018)
C. 1497. Solve the following simultaneous equations:
$$\begin{align*} xy & =z,\\ xz & =y,\\ yz & =x. \end{align*}$$(5 pont)
Deadline expired on November 12, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Összeszorozva a három egyenletet: \(\displaystyle (xyz)^2=xyz\).
Ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle xyz=0\) vagy \(\displaystyle xyz=1\).
Ha \(\displaystyle xyz=0\), akkor ha pl. \(\displaystyle z=0\), akkor a 2. és 3. egyenletből \(\displaystyle y=0\), illetve \(\displaystyle x=0\) következik. Hasonlóan, \(\displaystyle y=0\), illetve \(\displaystyle x=0\) esetén is kijön, hogy a másik két változó értéke is \(\displaystyle 0\). Tehát ebben az esetben egy megoldás van: \(\displaystyle x=y=z=0\).
Ha \(\displaystyle xyz=1\), akkor az \(\displaystyle xy\) helyére \(\displaystyle z\)-t beírva \(\displaystyle z^2=1\) adódik, és hasonlóan, \(\displaystyle y^2=1\) és \(\displaystyle x^2=1\). Ez azt jelenti, hogy a változók értéke \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle -1\) lehet, de úgy, hogy \(\displaystyle xyz=1\) teljesüljön. Így a következő megoldások adódnak, melyek az eredeti egyenletrendszert is kielégítik:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle y\) | \(\displaystyle z\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) |
| \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle -1\) |
| \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle 1\) |
Statistics:
328 students sent a solution. 5 points: 123 students. 4 points: 33 students. 3 points: 54 students. 2 points: 29 students. 1 point: 45 students. 0 point: 30 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 10 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2018