Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1498. feladat (2018. október)

C. 1498. Milyen hosszú lehet legfeljebb egy 2 méter magas ember árnyéka a Földön? A Földet tekintsük egy 6370 km sugarú gömbnek, melyre a fénysugarak a Napból párhuzamosan érkeznek.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Az \(\displaystyle AB\) szakasz árnyéka a földön akkor a leghosszabb, ha a napsugár a \(\displaystyle BE\) egyenes irányában érkezik. Ekkor az árnyék hossza az \(\displaystyle AE\) ív hossza.

\(\displaystyle OA=OE=R=6370000\) m, \(\displaystyle AB=2\) m, és így \(\displaystyle OB=6370002\) m.

Az \(\displaystyle BEO\) derékszögű háromszögben legyen \(\displaystyle BOE∡=β\). Ekkor \(\displaystyle \cos β=\frac{OE}{OB}=\frac{6\,370\,000}{6\,370\,002}\), amiből \(\displaystyle β≈0,000\,792\,43\) rad.

\(\displaystyle \widehat{AE}=Rβ≈6\,370\,000~\textrm{m}\cdot0,000\,792\,43 ~\textrm{rad}≈5047,8~\textrm{m}.\)

Megjegyzés. Ilyen kis szögeknél \(\displaystyle β≈sinβ\), ezért \(\displaystyle \widehat{AE}≈BE\). A \(\displaystyle BE\) szakasz hosszát Pitagorasz-tétellel is számolhatjuk:

\(\displaystyle BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{6\,370\,002^2-6\,370\,000^2}≈5047,8~\textrm{m}.\)


Statisztika:

A C. 1498. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai