Problem C. 1498. (October 2018)

C. 1498. What is the maximum possible length of the shadow of a 2-metre-tall man on the Earth if the Earth is considered a sphere of radius 6370 km, illuminated by parallel light rays from the Sun?

(5 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Állítsuk a két méter magas embert a Föld felszínére. Ha a Nap nem pontosan az ember feje fölött delel, akkor van árnyék, amely az ember lábától indul. Ha a Föld sík volna, akkor az árnyék korlátlanul növekedne, ahogy a napsugarak egyre nagyobb szöget zárnak be a álló ember egyenesével, miközben a sík többi részét megvilágítják.

Ha a Földet gömbnek tekintjük, akkor az árnyék egy gömbfelületre vetül. Most is nő az árnyék hossza, ha a Nap az álló ember egyenesével egyre nagyobb szöget zár be. De nem nőhet korlátlanul, mivel egy bizonyos szög után az ember árnyékának csak egy része vetül a Földfelszínre, míg a Földgömb további részét maga a Föld árnyékolja. Az árnyék akkor a leghosszabb, ha a 2 méter magas ember feje fölött haladó fénysugár éppen érinti a Földet.

Használjuk az ábra jelöléseit. Az \(\displaystyle AB\) szakasz árnyéka a Földön akkor a leghosszabb, ha a napsugár a \(\displaystyle BE\) egyenes irányában érkezik. Ekkor az árnyék hossza az \(\displaystyle AE\) ív hossza.

\(\displaystyle OA=OE=R=6370000\) m, \(\displaystyle AB=2\) m, és így \(\displaystyle OB=6370002\) m.

Az \(\displaystyle BEO\) derékszögű háromszögben legyen \(\displaystyle BOE∡=β\). Ekkor \(\displaystyle \cos β=\frac{OE}{OB}=\frac{6\,370\,000}{6\,370\,002}\), amiből \(\displaystyle β≈0,000\,792\,43\) rad.

\(\displaystyle \widehat{AE}=Rβ≈6\,370\,000~\textrm{m}\cdot0,000\,792\,43 ~\textrm{rad}≈5047,8~\textrm{m}.\)

Megjegyzés. Ilyen kis szögeknél \(\displaystyle β≈sinβ\), ezért \(\displaystyle \widehat{AE}≈BE\). A \(\displaystyle BE\) szakasz hosszát Pitagorasz-tétellel is számolhatjuk:

\(\displaystyle BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{6\,370\,002^2-6\,370\,000^2}≈5047,8~\textrm{m}.\)

Statistics:

178 students sent a solution.
5 points:	133 students.
4 points:	18 students.
3 points:	7 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2018