Problem C. 1501. (October 2018)

C. 1501. Find the longest arithmetic sequence of distinct prime numbers less than 200.

(5 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy egy sorozat első eleme nem prímszám. Ekkor megállapítható, hogy ha a differencia nem többszöröse \(\displaystyle p\)-nek (\(\displaystyle p\) prímszám), akkor legkésőbb a \(\displaystyle p\)-edik elem osztható lesz \(\displaystyle p\)-vel, mivel a \(\displaystyle p+1\)-edik elem ugyanakkora maradékot ad \(\displaystyle p\)-vel osztva, mint az első elem. Mivel mindegyik tagnál más a maradék értéke a szomszédhoz viszonyítottan, és a prímszám miatt nem lehet két azonos maradék sem, így az egyik elem maradéka \(\displaystyle 0\).

Ilyen feltételek mellett ahhoz, hogy a sorozatunk \(\displaystyle 2\) elemből állhasson, a differenciának oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 2\)-vel.

Ahhoz, hogy a sorozatunk \(\displaystyle 3\) elemből állhasson, a differenciának oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 2\cdot3=6\)-tal.

Ahhoz, hogy a sorozatunk \(\displaystyle 5\) elemből állhasson, a differenciának oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 2\cdot3\cdot5=30\)-cal.

Ahhoz, hogy a sorozatunk \(\displaystyle 7\) elemből állhasson, a differenciának oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 2\cdot3\cdot5\cdot7=210\)-zel.

Látható, hogy ily módon legfeljebb \(\displaystyle 6\) elemből álló sorozatot alkothatunk. Többre csak úgy van lehetőség, ha a sorozat kezdőeleme \(\displaystyle p\), ekkor a differencia nem kell, hogy \(\displaystyle p\)-vel osztható legyen. \(\displaystyle p > 7\) esetén a differencia továbbra is osztható lenne \(\displaystyle 210\)-zel. \(\displaystyle p=7\) esetén a \(\displaystyle 30\)-cal való oszthatóságnak kell teljesülnie, így a sorozat adott:

\(\displaystyle 7,\,37,\,67,\,97,\,127,\,157,\,187\).

Itt a hetedik szám összetett, tehát valójában \(\displaystyle 7\) tagból álló sorozatot sem képezhetünk, viszont 6 tagra kaptunk egy megfelelő sorozatot.

Debreczeni Tibor (Békásmegyeri Veres Péter Gimnázium, Budapest, 12. évf.)

Statistics:

232 students sent a solution.
5 points:	Ajtai Boglárka, Balogh Domonkos, Beinschroth Ninett, Bognár 171 András Károly, Buzás Bence István, Csiszár Bence László, Csonka Illés, Debreczeni Dorina, Debreczeni Tibor, Fodor Marcel, Fonyi Máté Sándor, Görcs András, Gubik Boglárka, György Bettina, Halasi Tamás, Halász Henrik, Inokai Dávid, Kardkovács Levente, Kerekes Boldizsár, Kis 194 Károly, Kovács Alex, Mácsai Dániel, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Molnár Réka, Molnár-Szabó Vilmos, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Nyilas Domonkos István, Nyitrai Boglárka, Páhán Anita Dalma, Pásti Bence, Robin Eszter, Rozgonyi Gergely, Schenk Anna, Szakács Ábel, Szalanics Tamás, Szanyi Attila, Szendrei Botond, Tálas József Soma, Tóth 416 Máté, Ungár Éva, Williams Hajna, Zempléni Lilla.
4 points:	42 students.
3 points:	39 students.
2 points:	19 students.
1 point:	40 students.
0 point:	33 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	10 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2018