Problem C. 1503. (October 2018)

C. 1503. In a triangle, the squares of the sides \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), in this order, form an arithmetic sequence. Show that the measure of the angle opposite to side \(\displaystyle b\) is at most \(\displaystyle 60^{\circ}\).

(5 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle b\) oldal a 2. leghosszabb oldal a háromszögben, ezért \(\displaystyle \beta\) < \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) hegyesszög.

A számtani sorozat definíciója miatt

\(\displaystyle b^2= \frac{a^2+c^2}{2}, \)

továbbá a koszinusz-tétel miatt

\(\displaystyle b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta, \)

\(\displaystyle \frac{a^2+c^2}{2} = a^2+c^2-2ac\cos \beta. \)

Az egyenletet cos\(\displaystyle \beta\) -ra rendezve:

\(\displaystyle cos\beta= \frac{a^2+c^2}{4ac}. \)

A koszinusz függvény a \(\displaystyle \left(0;\frac\pi2\right)\) intervallumon szigorúan monoton csökkenő. Ahhoz, hogy \(\displaystyle \beta\) a lehető legnagyobb legyen, ahhoz \(\displaystyle \cos\beta\) a lehető legkisebb kell, hogy legyen.

Ismert egyenlőtlenség, hogy \(\displaystyle x^2+y^2 \geqq 2xy \), mert \(\displaystyle (x-y)^2 \geqq 0 \). Ezt felhasználva

\(\displaystyle \cos\beta= \frac{a^2+c^2}{4ac} \geqq \frac{2ac}{4ac} = \frac12. \)

Egyenlőség akkor teljesülhetne, hogyha \(\displaystyle a=c\) lenne, de ez a feltétel miatt kizárt. \(\displaystyle \cos\beta\) nagyobb lesz minden körülmények között \(\displaystyle 0,5\)-nél, ezért \(\displaystyle \beta\) kisebb, mint \(\displaystyle 60^{\circ}\).

Jost Márk Benedek (Szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, 11. évf.)

Statistics:

71 students sent a solution.
5 points:	Ajtai Boglárka, Demcsák Ágnes, Gulyás Bálint, Györfi Bence, Hordós Adél Zita, Jost Márk Benedek, Kardkovács Levente, Kis 194 Károly, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nagy 202 Eszter , Rozgonyi Gergely, Rusvai Miklós, Schäffer Tamás, Sebe Anna, Stefula Máté, Szigeti Donát, Tóth 529 Petra, Tóth Imre, Varga Ákos.
4 points:	Andorfi István, Babolcsay Barbara, Debreczeni Tibor, Dénes Gergő, Falvay Júlia, Forgács Kata, Horváth 142 Tamara, Kalabay László, Kis-Tóth Janka, Lukács Emma, Paksi Barnabás, Pikéthy Áron, Pipis Panna, Sal Dávid, Székelyhidi Klára, Teleki Sándor, Tóth Benedek.
3 points:	6 students.
2 points:	2 students.
1 point:	12 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2018