Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1504. (November 2018)

C. 1504. A \(\displaystyle 3\times3\) table is filled in as shown. If the greatest common divisor of any set of \(\displaystyle n\) entries of the table is \(\displaystyle n\), it is allowed to rearrange those entries so that none of them stay in place. With an appropriate succession of such steps, is it possible to achieve that the final arrangement of the numbers is a reflection of the original arrangement in one diagonal? In the other diagonal?

1 3 4
6 8 9
10 12 20

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először vizsgáljuk meg, hogy elérhető-e az az elrendezés, amit a táblázat \(\displaystyle 4,8,10\) átlóra tükrözésével kapunk:

20 9 4
12 8 3
10 6 1

A szabályok alapján vegyük észre, hogy az \(\displaystyle 1\)-et nem tudjuk mozgatni, hiszen az \(\displaystyle 1\)-nek bármely más számmal (számokkal) \(\displaystyle 1\) a legnagyobb közös osztója, vagyis ilyenkor csak egy számot mozgathatnánk, az \(\displaystyle 1\)-et, ami ellentmondás.

Ebben az esetben az \(\displaystyle 1\)-nek át kellene kerülnie a szemközti csúcsba, így a kívánt elrendezés nem érhető el.

Most vizsgáljuk meg, elérhető-e az az elrendezés, amit úgy kapunk, ha a táblázatot az \(\displaystyle 1,8,20\) átlóra tükrözzük:

1 6 10
3 8 12
4 9 20

Ebben az esetben a kívánt elrendezés elérhető, például a következő lépésekkel:

1 3 4
6 8 9
10 12 20

\(\displaystyle ~\)

1 3 10
6 8 9
4 12 20

\(\displaystyle ~\)

1 9 10
6 8 12
4 3 20

\(\displaystyle ~\)

1 6 10
3 8 12
4 9 20

Tehát először végrehajtunk egy \(\displaystyle 4\leftrightarrow 10\) cserét, majd \(\displaystyle 3\to 12\to 9\to 3\) ciklikus cserét, végül a \(\displaystyle 3\to 6\to 9\to 3\) ciklikus cserét.


Statistics:

208 students sent a solution.
5 points:138 students.
4 points:33 students.
3 points:15 students.
2 points:10 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2018