Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1506. feladat (2018. november)

C. 1506. Oldjuk meg a \(\displaystyle p^q+1=q^p\) egyenletet, ahol \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) pozitív prímszámokat jelöl.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Különböztessünk meg 3 esetet \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) paritása szerint:

1. eset: \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) paritása egyezik.
Ekkor \(\displaystyle p^q\) és \(\displaystyle q^p\) paritása is egyezik, így az egyenlet egyik oldalán páros, másik oldalán pedig páratlan szám áll, vagyis ebben az esetben nincs megoldás.

2. eset: \(\displaystyle p\) páros, azaz \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle q\) páratlan.
Ebben az esetben az egyenlet:

\(\displaystyle 2^q+1=q^2.\)

Ezt átrendezve, majd átalakítva kapjuk, hogy

\(\displaystyle 2^q=q^2-1,\)

\(\displaystyle 2^q=(q-1)(q+1).\)

Az egyenlet bal oldala 2-hatvány, azaz \(\displaystyle q-1\) és \(\displaystyle q+1\) is 2-hatvány, ráadásul két olyan 2-hatvány, melyek különbsége 2. A \(\displaystyle q-1=2\) és \(\displaystyle q+1=4\) jó megoldás, és mivel a szomszédos 2-hatványok közti különbség szigorúan monoton nő (hiszen \(\displaystyle 2^{k-1}\) és \(\displaystyle 2^k\) különbsége \(\displaystyle 2^{k-1}\)), így nincs több megoldás. Ebből \(\displaystyle q=3\). Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe valóban egyenlőséget kapunk:

\(\displaystyle 2^3+1=3^2.\)

Tehát \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle q=3\) egy megoldása az egyenletnek.

3. eset: \(\displaystyle p\) páratlan és \(\displaystyle q\) páros, azaz \(\displaystyle q=2\).
Ekkor

\(\displaystyle p^2+1=2^p.\)

Négyzetszám \(\displaystyle 4\)-es maradéka nem lehet \(\displaystyle 3\), így a bal oldalt a \(\displaystyle 4\) nem osztja, míg a jobb oldalt igen, hiszen \(\displaystyle p>2.\) Vagyis ebben az esetben sincs megoldás.

Azaz \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle q=3\) az egyenlet egyetlen megoldása.


Statisztika:

351 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:237 versenyző.
4 pontot kapott:11 versenyző.
3 pontot kapott:45 versenyző.
2 pontot kapott:10 versenyző.
1 pontot kapott:28 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:17 dolgozat.

A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai