Problem C. 1506. (November 2018)

C. 1506. Solve the equation \(\displaystyle p^q+1=q^p\), where \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) denote positive prime numbers.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Különböztessünk meg 3 esetet \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) paritása szerint:

1. eset: \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) paritása egyezik.
Ekkor \(\displaystyle p^q\) és \(\displaystyle q^p\) paritása is egyezik, így az egyenlet egyik oldalán páros, másik oldalán pedig páratlan szám áll, vagyis ebben az esetben nincs megoldás.

2. eset: \(\displaystyle p\) páros, azaz \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle q\) páratlan.
Ebben az esetben az egyenlet:

\(\displaystyle 2^q+1=q^2.\)

Ezt átrendezve, majd átalakítva kapjuk, hogy

\(\displaystyle 2^q=q^2-1,\)

\(\displaystyle 2^q=(q-1)(q+1).\)

Az egyenlet bal oldala 2-hatvány, azaz \(\displaystyle q-1\) és \(\displaystyle q+1\) is 2-hatvány, ráadásul két olyan 2-hatvány, melyek különbsége 2. A \(\displaystyle q-1=2\) és \(\displaystyle q+1=4\) jó megoldás, és mivel a szomszédos 2-hatványok közti különbség szigorúan monoton nő (hiszen \(\displaystyle 2^{k-1}\) és \(\displaystyle 2^k\) különbsége \(\displaystyle 2^{k-1}\)), így nincs több megoldás. Ebből \(\displaystyle q=3\). Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe valóban egyenlőséget kapunk:

\(\displaystyle 2^3+1=3^2.\)

Tehát \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle q=3\) egy megoldása az egyenletnek.

3. eset: \(\displaystyle p\) páratlan és \(\displaystyle q\) páros, azaz \(\displaystyle q=2\).
Ekkor

\(\displaystyle p^2+1=2^p.\)

Négyzetszám \(\displaystyle 4\)-es maradéka nem lehet \(\displaystyle 3\), így a bal oldalt a \(\displaystyle 4\) nem osztja, míg a jobb oldalt igen, hiszen \(\displaystyle p>2.\) Vagyis ebben az esetben sincs megoldás.

Azaz \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle q=3\) az egyenlet egyetlen megoldása.

Statistics:

352 students sent a solution.
5 points:	238 students.
4 points:	11 students.
3 points:	45 students.
2 points:	11 students.
1 point:	28 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	16 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2018