Problem C. 1508. (November 2018)

C. 1508. Determine the value of \(\displaystyle xy\), given that \(\displaystyle x+y=1\) and \(\displaystyle x^3+y^3=\frac12\).

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ismert azonosság szerint:

\(\displaystyle (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y).\)

Behelyettesítve a feladat feltételeit:

\(\displaystyle 1=\frac{1}{2}+3xy\)

adódik, amiből

\(\displaystyle \frac{1}{2}=3xy,\)

azaz

\(\displaystyle \frac{1}{6}=xy.\)

Tehát a feltételeket kielégítő \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) számokra \(\displaystyle xy=\frac{1}{6}\).

Megmutatjuk, hogy tényleg létezik is ilyen \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\). Ehhez helyettesítsünk \(\displaystyle y=1-x\)-et az előző egyenlőségbe:

\(\displaystyle \frac{1}{6}=x(1-x),\)

\(\displaystyle \frac{1}{6}=x-x^2,\)

\(\displaystyle x^2-x+\frac{1}{6}=0.\)

Alkalmazva a másodfokú egyenlet megoldóképletét kapjuk:

\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1-\frac{4}{6}}}{2}=\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2\sqrt{3}}.\)

Tehát \(\displaystyle x=x_1\) (és ekkor \(\displaystyle y=x_2\)) vagy \(\displaystyle x=x_2\) (és ekkor \(\displaystyle y=x_1\)).

Az így kapott \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) értékek kielégítik a feledat feltételeit:

\(\displaystyle \frac{1}{2}+ \frac{1}{2\sqrt{3}}+ \frac{1}{2}- \frac{1}{2\sqrt{3}}=1\)

és

\(\displaystyle {\left(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2\sqrt{3}}\right)}^3+ {\left(\frac{1}{2}- \frac{1}{2\sqrt{3}}\right)}^3=\frac{1}{2}.\)

Tehát létezik ilyen \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\), a keresett \(\displaystyle xy\) érték pedig \(\displaystyle xy=\frac{1}{6}.\)

Statistics:

375 students sent a solution.
5 points:	291 students.
4 points:	20 students.
3 points:	9 students.
2 points:	28 students.
1 point:	5 students.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	17 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2018