Problem C. 1510. (November 2018)
C. 1510. The base radii of a right circular truncated cone are \(\displaystyle 8\) cm and \(\displaystyle 5\) cm. The slant height is \(\displaystyle 12\) cm. If the truncated cone is laid on its side and rolled, it will trace out a circular ring in the plane. Determine the radii of the inner and outer circles of the ring, and find the number of times the truncated cone rotates about its axis while it rolls around and returns to its starting position.
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Vegyük a csonkakúpnak egy olyan síkmetszetét, mely illeszkedik az alapkör, illetve a fedőkör középpontjára. Ez a síkmetszet egy szimmetrikus trapéz, melynek alapjai 10 és 16 cm-esek, szárai 12 cm-esek.
Ezt a trapézt egészítsük ki a kiegészítőháromszögével az ábrán látható módon, majd alkalmazzuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét:
\(\displaystyle \frac{OC}{OC+12}=\frac{10}{16}.\)
Ezt átrendezve kapjuk, hogy
\(\displaystyle 16 OC=10 OC +120,\)
\(\displaystyle 6OC=120,\)
\(\displaystyle OC=20.\)
Most vegyük észre, hogy a csonkakúp palástjának pontjai által meghatározott körgyűrűnek éppen \(\displaystyle O\) a középpontja, \(\displaystyle OC\), azaz 20 cm a körgyűrű belső körének és \(\displaystyle OA\), azaz \(\displaystyle 20+12=32\) cm a külső körének a sugara. (Képzelhetjük úgy, mintha a csonkakúpot kiegészítettük volna egy egyenes kúppá, melynek csúcspontja \(\displaystyle O\), és a kúpot gurítjuk a lapon.)
A körgyűrű belső körén a csonkakúp fedőköre, míg külső körén az alapköre gurul. Azaz, hogy meghatározzuk, hogy hányszor fordul körbe a csonkakúp, míg visszaér, meg kell mondanunk, hogy például a fedőköre kerületének hányszorosa a körgyűrű belső körének kerülete. A kérdéses kerületek:
\(\displaystyle k_{\text {fedőkör}}=10\pi,\)
\(\displaystyle k_{\text{belsőkör}}=40\pi.\)
\(\displaystyle \frac{40 \pi}{10 \pi}=4,\) azaz 4-szer fordul körbe a csonkakúp, mire visszaér a kiinduló helyzetbe.
Statistics:
73 students sent a solution. 5 points: Ajtai Boglárka, Andorfi István, Babolcsay Barbara, Balogh Bence, Bárdos Deák Botond, Bendicskó Laura, Borzon Márton, Bottlik Domonkos, Csák Zolta, Gálffy Veronika, Györfi Bence, Halász 237 Lajos, Hordós Adél Zita, Horváth 142 Tamara, Ill Ninetta, Jankovits András, Kalabay László, Kis 194 Károly, Kis-Tóth Janka, Kovács 111 Bence, Kubik Emese, Laczkó Anna, Lénárt Martin, Lukács Emma, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nagy 202 Eszter , Nagy Miron, Német Franciska, Nyitrai Boglárka, Rátki Luca, Rozgonyi Gergely, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Schäffer Tamás, Sebe Anna, Szabó 677 Balázs István, Szalontai Kinga Sára, Székelyhidi Klára, Szigeti Donát, Tóth Benedek, Tóth Imre, Török Vince, Varga Ákos, Vlaszov Artúr. 4 points: 8 students. 3 points: 4 students. 2 points: 2 students. 1 point: 3 students. 0 point: 3 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 8 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2018