Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1511. feladat (2018. december)

C. 1511. Az \(\displaystyle AD\) szakasz \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) belső pontjaira \(\displaystyle AB=CD\) teljesül. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle P\) a sík egy tetszőleges pontja, akkor \(\displaystyle PA+PD\ge PB+PC\).

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először legyen a pontok sorrendje az ábrán látható módon: \(\displaystyle A, B, C\) és \(\displaystyle D\), és tegyük fel, hogy \(\displaystyle P\) nincs az \(\displaystyle AB\) egyenesén. Tükrözzük a \(\displaystyle P\) pontot és az \(\displaystyle AD\) szakaszt az \(\displaystyle AD\) szakasz \(\displaystyle F\) felezőpontjára, legyen \(\displaystyle P\) képe \(\displaystyle Q\). Ennél a középpontos tükrözésnél \(\displaystyle A\) pont képe \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle B\) pont képe \(\displaystyle C\), vagyis \(\displaystyle AP\) képe \(\displaystyle DQ\) és \(\displaystyle PB\) képe \(\displaystyle QC\).

Ekkor a bizonyítandó állítás a középpontos tükrözés tulajdonságai miatt a következőképpen fogalmazható meg:

\(\displaystyle PD+QD \geq PC+QC.\)

Ez pedig teljesül, hiszen a \(\displaystyle PDQ\) háromszög tartalmazza a \(\displaystyle PCQ\) háromszöget, és ha egy háromszög egy másikat tartalmaz, akkor nagyobb a kerülete. (Ez a háromszög-egyenlőtlenség ismételt alkalmazásával könnyen igazolható, és háromszögek helyett tetszőleges konvex sokszögekre is teljesül – melyek közül az egyik tartalmazza a másikat.) Azaz a kívánt állítást ebben az esetben beláttuk.

Ha \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) közül \(\displaystyle C\) van közelebb \(\displaystyle A\)-hoz, akkor a fenti gondolatmenet ugyanígy működik (csak \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) szerepe felcserélődik). Ha \(\displaystyle B=C\), vagyis mindkét pont az \(\displaystyle AD\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontja, akkor is érvényesek a korábbiak, valójában ekkor az állítás egyetlen háromszög-egyenlőtlenség segítségével kapható: \(\displaystyle PB+PC=2PF=PQ<PD+QD=PA+PD\).

Végül, ha \(\displaystyle P\) rajta van az \(\displaystyle AD\) egyenesen, akkor az állítás nyilvánvalóan teljesül (amennyiben \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AD\) egyenes egy \(\displaystyle AD\) szakaszon kívül eső pontja vagy \(\displaystyle P\in\{A,D\}\), akkor egyenlőséggel).


Statisztika:

A C. 1511. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai