Problem C. 1511. (December 2018)

C. 1511. \(\displaystyle B\) and \(\displaystyle C\) are interior points of a line segment \(\displaystyle AD\) such that \(\displaystyle AB=CD\). Prove that \(\displaystyle PA+PD\ge PB+PC\) for any point \(\displaystyle P\) of the plane.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először legyen a pontok sorrendje az ábrán látható módon: \(\displaystyle A, B, C\) és \(\displaystyle D\), és tegyük fel, hogy \(\displaystyle P\) nincs az \(\displaystyle AB\) egyenesén. Tükrözzük a \(\displaystyle P\) pontot és az \(\displaystyle AD\) szakaszt az \(\displaystyle AD\) szakasz \(\displaystyle F\) felezőpontjára, legyen \(\displaystyle P\) képe \(\displaystyle Q\). Ennél a középpontos tükrözésnél \(\displaystyle A\) pont képe \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle B\) pont képe \(\displaystyle C\), vagyis \(\displaystyle AP\) képe \(\displaystyle DQ\) és \(\displaystyle PB\) képe \(\displaystyle QC\).

Ekkor a bizonyítandó állítás a középpontos tükrözés tulajdonságai miatt a következőképpen fogalmazható meg:

\(\displaystyle PD+QD \geq PC+QC.\)

Ez pedig teljesül, hiszen a \(\displaystyle PDQ\) háromszög tartalmazza a \(\displaystyle PCQ\) háromszöget, és ha egy háromszög egy másikat tartalmaz, akkor nagyobb a kerülete. (Ez a háromszög-egyenlőtlenség ismételt alkalmazásával könnyen igazolható, és háromszögek helyett tetszőleges konvex sokszögekre is teljesül – melyek közül az egyik tartalmazza a másikat.) Azaz a kívánt állítást ebben az esetben beláttuk.

Ha \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) közül \(\displaystyle C\) van közelebb \(\displaystyle A\)-hoz, akkor a fenti gondolatmenet ugyanígy működik (csak \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) szerepe felcserélődik). Ha \(\displaystyle B=C\), vagyis mindkét pont az \(\displaystyle AD\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontja, akkor is érvényesek a korábbiak, valójában ekkor az állítás egyetlen háromszög-egyenlőtlenség segítségével kapható: \(\displaystyle PB+PC=2PF=PQ<PD+QD=PA+PD\).

Végül, ha \(\displaystyle P\) rajta van az \(\displaystyle AD\) egyenesen, akkor az állítás nyilvánvalóan teljesül (amennyiben \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AD\) egyenes egy \(\displaystyle AD\) szakaszon kívül eső pontja vagy \(\displaystyle P\in\{A,D\}\), akkor egyenlőséggel).

Statistics:

116 students sent a solution.
5 points:	Ajtai Janka, Bana Marcell, Biró 424 Ádám, Bognár 171 András Károly, Buzás Bence István, Csilling Katalin, Csiszár Bence László, Csonka Illés, Debreczeni Dorina, Ecsedi Boglárka, Farkas Jázmin, Fonyi Máté Sándor, Hajdú Bálint, Halasi Tamás, Halász Henrik, Inokai Dávid, Kadem Aziz, Kara Zsombor, Kerekes Boldizsár, Kovács Gábor Benedek, Mácsai Dániel, Merkel Tamás, Mezey Dorottya, Mócza Levente András, Mócza Tamás István, Molnár Réka, Móricz 777 Anna, Nagy 551 Levente, Németh Imola, Németh Kristóf, Páhán Anita Dalma, Patricia Janecsko, Rékási Bence, Richlik Bence, Robin Eszter, Sas 202 Mór, Schenk Anna, Schneider Anna, Stein Felix, Szalanics Tamás, Trombitás Karolina Sarolta, Ungár Éva, Urszuly Csenge.
4 points:	21 students.
3 points:	25 students.
2 points:	10 students.
1 point:	3 students.
0 point:	11 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2018