Problem C. 1512. (December 2018)

C. 1512. We are making 50-gram cubes out of three different mixtures of red, white and green play dough. In the first type of cube, the proportion of the colours is \(\displaystyle 3:2:0\), in the second type it is \(\displaystyle 1:3:1\), and in the third type it is \(\displaystyle 0:1:4\). How many of each type should we make if we want to use \(\displaystyle 1\) kg of each colour altogether?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel mindhárom színből \(\displaystyle 1-1\) kg-ot használunk fel, így összesen \(\displaystyle 3\) kg gyurmából készítünk kockákat. Egy kocka \(\displaystyle 50\) g-os, így 60 db kockát készítünk összesen. Legyen \(\displaystyle x\) db az első féle kockából (ahol a színek aránya \(\displaystyle p:f:z=3:2:0\)) és \(\displaystyle y\) db a másodikból (ahol \(\displaystyle p:f:z=1:3:1\)). Ekkor a harmadik féle kiskockából (\(\displaystyle p:f:z=0:1:4\)) \(\displaystyle 60-x-y\) db lesz.

Most nézzük, hogy melyik típusú kiskockához mennyi piros, fehér, illetve zöld gyurmát használunk. A felhasznált gyurmák arányaiból kapjuk, hogy az első féle kiskockában \(\displaystyle 30\) g piros, \(\displaystyle 20\) g fehér és \(\displaystyle 0\) g fehér gyurma van. A második fajta \(\displaystyle 10\) g piros, \(\displaystyle 30\) g fehér és \(\displaystyle 10\) g zöld gyurmából áll, míg a harmadik fajta \(\displaystyle 0\) g piros, \(\displaystyle 10\) g fehér és \(\displaystyle 40\) g zöld gyurmából.

Ezek alapján írjuk fel, hogy összesen mennyi piros, illetve fehér gyurmát használtunk:

\(\displaystyle 30x+10y=1000,\)

\(\displaystyle 20x+30y+10 (60-x-y)=1000.\)

A második egyenletben bontsuk fel a zárójelet, majd végezzük el az összevonásokat. Ekkor kapjuk, hogy

\(\displaystyle 10x+20y=400.\)

Ezzel a következő kétismeretlenes egyenletrendszert kapjuk:

Az (1) egyenlet kétszereséből vonjuk ki a (2) egyenletet, ekkor

\(\displaystyle 50x=1600,\)

és így

\(\displaystyle x=32.\)

Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe kapjuk, hogy

\(\displaystyle y=4.\)

Ebből

\(\displaystyle z=24.\)

A kapott értékekkel ellenőrizve a feladatot látható, hogy valóban teljesülnek a feltételek: a piros színből \(\displaystyle 32\cdot30+4\cdot10+24\cdot0=1000\) gramm, a piros színből \(\displaystyle 32\cdot20+4\cdot30+24\cdot10=1000\) gramm, végül a zöldből szintén \(\displaystyle 32\cdot0+4\cdot10+24\cdot40=1000\) gramm lett felhasználva.

Azaz \(\displaystyle 32\) db kockát készítettünk az első fajtából, \(\displaystyle 4\) db-ot a másodikból és \(\displaystyle 24\) db-ot a harmadik fajtából.

Statistics:

212 students sent a solution.
5 points:	169 students.
4 points:	11 students.
3 points:	9 students.
2 points:	5 students.
1 point:	9 students.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2018