Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1513. feladat (2018. december)

C. 1513. Mutassuk meg, hogy bármely köbszám felírható két négyzetszám különbségeként.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Megmutatjuk, hogy bármely egész \(\displaystyle a\)-ra

\(\displaystyle a^3=\left(\frac{a^2+a}{2}\right)^2-\left(\frac{a^2-a}{2}\right)^2.\)

Valóban:

\(\displaystyle \left(\frac{a^2+a}{2}\right)^2-\left(\frac{a^2-a}{2}\right)^2= \frac{a^4+2a^3+a^2}{4}-\frac{a^4-2a^3+a^2}{4}= \frac{4a^3}{4}=a^3.\)

Továbbá \(\displaystyle \frac{a^2+a}{2}\) és \(\displaystyle \frac{a^2-a}{2}\) egész számok, mert mindkét tört számlálója páros, hiszen előáll, mint két szomszédos szám szorzata (rendre \(\displaystyle a(a+1)\), illetve \(\displaystyle a(a-1)\)).

Azaz bebizonyítottuk, hogy bármely köbszám előáll, mint 2 egész szám négyzetének különbsége.

Megjegyzés. Nem nehéz megmutatni, hogy két négyzetszám különbségeként éppen azok az egész számok állnak elő, melyek 4-es maradéka nem 2. Ez a köbszámokra nyilvánvalóan teljesül.


Statisztika:

A C. 1513. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai