Problem C. 1513. (December 2018)

C. 1513. Show that every perfect cube can be expressed as a difference of two perfect squares.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy bármely egész \(\displaystyle a\)-ra

\(\displaystyle a^3=\left(\frac{a^2+a}{2}\right)^2-\left(\frac{a^2-a}{2}\right)^2.\)

Valóban:

\(\displaystyle \left(\frac{a^2+a}{2}\right)^2-\left(\frac{a^2-a}{2}\right)^2= \frac{a^4+2a^3+a^2}{4}-\frac{a^4-2a^3+a^2}{4}= \frac{4a^3}{4}=a^3.\)

Továbbá \(\displaystyle \frac{a^2+a}{2}\) és \(\displaystyle \frac{a^2-a}{2}\) egész számok, mert mindkét tört számlálója páros, hiszen előáll, mint két szomszédos szám szorzata (rendre \(\displaystyle a(a+1)\), illetve \(\displaystyle a(a-1)\)).

Azaz bebizonyítottuk, hogy bármely köbszám előáll, mint 2 egész szám négyzetének különbsége.

Megjegyzés. Nem nehéz megmutatni, hogy két négyzetszám különbségeként éppen azok az egész számok állnak elő, melyek 4-es maradéka nem 2. Ez a köbszámokra nyilvánvalóan teljesül.

Statistics:

239 students sent a solution.
5 points:	113 students.
4 points:	77 students.
3 points:	12 students.
2 points:	6 students.
1 point:	12 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	10 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2018