Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1515. feladat (2018. december)

C. 1515. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán, ha \(\displaystyle k\) páratlan pozitív egész szám:

\(\displaystyle \big(1-x+x^2\big) \big(1-x+x^2-\ldots +x^{2k}\big)= \big(1-x+x^2-\ldots +x^{k+1}\big)^2. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát \(\displaystyle (x+1)^2\)-nel, feltéve, hogy \(\displaystyle x \neq -1.\) Ezt az esetet majd a végén külön megvizsgáljuk. Ekkor kapjuk, hogy

\(\displaystyle (x+1)\left(1-x+x^2\left) (x+1)\right(1-x+x^2-\dots +x^{2k} \right)=(x+1)^2\left(1-x+x^2-\dots +x^{k+1} \right)^2 .\)

Az ismert azonosságokat alkalmazva adódik, hogy

\(\displaystyle (x^3+1)(x^{2k+1}+1)=(x^{k+2}+1)^2.\)

Elvégezve a szorzásokat:

\(\displaystyle x^{2k+4}+x^3+x^{2k+1}+1=x^{2k+4}+2x^{k+2}+1.\)

Elvégezve az egyszerűsítéseket és egy oldalra rendezve kapjuk, hogy

\(\displaystyle x^3+x^{2k+1}-2x^{k+2}=0,\)

\(\displaystyle x^3(1-2x^{k-1}+x^{2k-2})=0,\)

\(\displaystyle x^3(1-x^{k-1})^2=0.\)

Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így \(\displaystyle x^3=0\) vagy \(\displaystyle 1-x^{k-1}=0.\)

1. eset: \(\displaystyle x^3=0\), ebből \(\displaystyle x=0.\)

2. eset: \(\displaystyle 1-x^{k-1}=0\), azaz \(\displaystyle 1=x^{k-1}\). Ebből (mivel \(\displaystyle k\) páratlan) \(\displaystyle x=\pm 1\), vagy pedig \(\displaystyle k=1\) és ekkor \(\displaystyle x\) tetszőleges valós szám lehet. De \(\displaystyle x=-1\) egyik esetben sem megoldás a kiindulási feltételünk miatt.

Ezeket visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe látható, hogy tényleg megoldások:

\(\displaystyle x=0-\text{ra}: 1=1,\)

\(\displaystyle x=1-\text{re}: 1=1.\)

Ha pedig \(\displaystyle k=1\), akkor a megadott egyenlet bal és jobb oldalán ugyanaz a kifejezés áll, ezért valóban minden \(\displaystyle x\)-re teljesül az egyenlet.

Végül, nézzük meg, hogy mi történik, ha \(\displaystyle x=-1.\) Helyettesítsünk \(\displaystyle -1\)-et az egyenlet mindkét oldalán:

\(\displaystyle (1+1+1)(1+1+1+1+\dots+1)=3(2k+1)=6k+3,\)

\(\displaystyle (1+1+1+\dots+1)^2=(k+2)^2=k^2+4k+4.\)

Vizsgáljuk meg, hogy a bal és a jobb oldal milyen egész \(\displaystyle k\)-ra egyezik meg:

\(\displaystyle 6k+3=k^2+4k+4,\)

\(\displaystyle 0=k^2-2k+1=(k-1)^2,\)

azaz

\(\displaystyle k=1.\)

Vagyis azt kaptuk, hogy \(\displaystyle k=1\)-re \(\displaystyle x=-1\) is megoldás, ami azonban nem hoz be új megoldást, hisz már láttuk, hogy \(\displaystyle k=1\)-re minden valós \(\displaystyle x\) megoldás.

Tehát az egyenletnek \(\displaystyle x=0\) és \(\displaystyle 1\) a két megoldása, ha \(\displaystyle k\neq 1\), és minden valós \(\displaystyle x\), ha \(\displaystyle k=1\).


Statisztika:

A C. 1515. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai