Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1518. (January 2019)

C. 1518. How many \(\displaystyle 13\)-digit positive integers are there which contain only digits of \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 9\), and in which the difference between every pair of consecutive digits is \(\displaystyle 3\)?

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Különböztessünk meg két esetet aszerint, hogy milyen számjegy áll az első helyen, azaz a legnagyobb helyiértékű helyen:

1. eset: 3-as vagy 9-es. Ekkor a 2. helyen 6-osnak kell állnia, a 3. helyen ismét állhat 3-as vagy 9-es, a 4. helyen ismét 6-osnak kell lennie, és így tovább... Azaz a páratlanadik helyeken állhat 3-as vagy 9-es, a páros helyeken pedig csak 6-os. Így ebben az esetben \(\displaystyle 2^7=128\) ilyen szám van.

2. eset: 6-os. Ekkor a 2. helyen lehet 3-as vagy 9-es, a 3. helyen újra 6-osnak kell állnia, a 4. helyen állhat 3-as vagy 9-es, és így tovább... Azaz a páratlan helyeken 6-os áll, míg a páros helyeken állhat 3-as vagy 9-es. Így \(\displaystyle 2^6=64\) ilyen szám van ebben az esetben.

Azaz \(\displaystyle 192\) ilyen szám van.


Statistics:

246 students sent a solution.
5 points:80 students.
4 points:69 students.
3 points:47 students.
2 points:24 students.
1 point:14 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2019