Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1519. feladat (2019. január)

C. 1519. Egy háromszög két oldalának hossza \(\displaystyle 31\) és \(\displaystyle 22\), a hozzájuk tartozó súlyvonalak merőlegesek egymásra. Mekkora a harmadik oldal?

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


Megoldás.

Legyen \(\displaystyle AB=31\) és \(\displaystyle CB=22\) a két megadott hosszúságú oldal. Legyen \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja \(\displaystyle E\), \(\displaystyle BC\)-é \(\displaystyle F\). Húzzuk be az \(\displaystyle EF\) középvonalat, majd írjuk fel a Pitagorasz-tételt a következő négy (\(\displaystyle S\)-nél) derékszögű háromszögre: \(\displaystyle AES\), \(\displaystyle FCS\), \(\displaystyle CAS\) és \(\displaystyle EFS\). Ezekből rendre kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{4}{9}s_a^2+\frac{1}{9}s_c^2=240,25,\)

\(\displaystyle \frac{1}{9}s_a^2+\frac{4}{9}s_c^2=121,\)

\(\displaystyle \frac{4}{9}s_a^2+\frac{4}{9}s_c^2=b^2,\)

\(\displaystyle \frac{1}{9}s_a^2+\frac{1}{9}s_c^2=\frac{b^2}{4}.\)

(Felhasználtuk, hogy az \(\displaystyle S\) súlypont \(\displaystyle 2:1\) arányban osztja a súlyvonalakat.) Adjuk össze az első kettő, illetve a második kettő egyenletet, kapjuk

\(\displaystyle \frac{5}{9}s_a^2+\frac{5}{9}s_c^2=361,25,\)

\(\displaystyle \frac{5}{9}s_a^2+\frac{5}{9}s_c^2=\frac{5}{4}b^2.\)

Ebből

\(\displaystyle b^2=289,\)

azaz

\(\displaystyle b=17.\)

A háromszög harmadik oldala 17.

Megjegyzések. 1. A 31, 22 és 17 oldalhosszú háromszög két megfelelő súlyvonala tényleg merőleges egymásra, azaz létezik a feladatban szereplő háromszög.
2. A megoldás úgy is elmondható, hogy \(\displaystyle AEFC\) négyszög átlói pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha az \(\displaystyle EC\) és \(\displaystyle AF\) átlók négyzetösszege megegyezik a négyszög oldalainak négyzetösszegével. (Ez az ismert állítás például éppen a megoldásban szereplő Pitagorasz-tételeken keresztül igazolható.)


Statisztika:

A C. 1519. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. januári matematika feladatai