Problem C. 1520. (January 2019)

C. 1520. Determine the last two digits of the number \(\displaystyle 2^{2019}+2019^2\).

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először nézzük \(\displaystyle 2019^2\) utolsó két számjegyét: Elvégezve a négyzetreemelést kapjuk, hogy 61. (Elegendő 19-et négyzetre emelnünk, hiszen a szám négyzetének utolsó két jegyét meghatározza utolsó két jegye, és itt most \(\displaystyle 19^2=361\).)

Most térjünk rá \(\displaystyle 2^{2019}\) utolsó két számjegyére: Kezdjük el felírni a 2 hatványainak az utolsó 2 számjegyét addig, amíg nem lesz ismétlődés:

\(\displaystyle 02, |04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, | 04, 08, 16 ...\)

Azaz egy 20 hosszú ciklus ismétlődik a 2. hatványtól kezdődően. Így elég megnézni, hogy 2019 a 20 hosszú ciklus hányadik eleme lesz, azaz meg kell határoznunk 2018-nak a 20-as maradékát, ami 18. Így 88 a \(\displaystyle 2^{2019}\) utolsó két számjegye.

Innen \(\displaystyle 2^{2019}+2019^2\) utolsó 2 számjegyére kapjuk, hogy \(\displaystyle 88+61=149\) utolsó 2 jegyével egyezik meg, azaz 49.

A megadott összeg utolsó két számjegye \(\displaystyle 49.\)

Statistics:

331 students sent a solution.
5 points:	244 students.
4 points:	60 students.
3 points:	9 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	16 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2019