Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1521. feladat (2019. január)

C. 1521. Az \(\displaystyle O\) középpontú kört \(\displaystyle E\)-ben belülről érinti egy feleakkora sugarú kör. Egy \(\displaystyle O\)-ból induló félegyenes a nagy kört \(\displaystyle P\)-ben, a kis kört pedig az \(\displaystyle O\)-tól különböző \(\displaystyle R\) pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle \widehat{EP}\) és az \(\displaystyle \widehat{ER}\) körív hossza megegyezik.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Vegyük észre, hogy a kisebbik kör átmegy a nagyobbik kör \(\displaystyle O\) középpontján, hiszen a nagyobbik kört belülről érinti és sugara feleakkora. A nagyobb kör sugarát jelöljre \(\displaystyle r\).

Először tegyük fel, hogy az \(\displaystyle O\)-ból induló félegyenes nem tartalmazza \(\displaystyle E\)-t. Legyen a kisebbik kör középpontja \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle ROE \angle =POE \angle = \alpha\). Ekkor a középponti és kerületi szögek tétele miatt \(\displaystyle RQE \angle = 2 \alpha\). Így

\(\displaystyle \widehat {EP}=r \cdot \alpha\)

és

\(\displaystyle \widehat {ER}= \frac{r}{2} \cdot 2 \alpha,\)

azaz a két körív hossza megegyezik, \(\displaystyle r \alpha\) mindkettő.

Végül, ha az \(\displaystyle O\)-ból induló félegyenesen rajta van \(\displaystyle E\), akkor \(\displaystyle P= R=E\), és az állítás nyilvánvalóan igaz.

Ezzel az összes esetben igazoltuk a feladat állítását.


Statisztika:

A C. 1521. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. januári matematika feladatai