Problem C. 1521. (January 2019)

C. 1521. A circle of half the radius touches a circle of centre \(\displaystyle O\) from the inside at point \(\displaystyle E\). A ray drawn from \(\displaystyle O\) intersects the large circle at \(\displaystyle P\), and the other intersection with the small circle is \(\displaystyle R\). Prove that the arcs \(\displaystyle \widehat{EP}\) and \(\displaystyle \widehat{ER}\) have the same length.

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyük észre, hogy a kisebbik kör átmegy a nagyobbik kör \(\displaystyle O\) középpontján, hiszen a nagyobbik kört belülről érinti és sugara feleakkora. A nagyobb kör sugarát jelöljre \(\displaystyle r\).

Először tegyük fel, hogy az \(\displaystyle O\)-ból induló félegyenes nem tartalmazza \(\displaystyle E\)-t. Legyen a kisebbik kör középpontja \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle ROE \angle =POE \angle = \alpha\). Ekkor a középponti és kerületi szögek tétele miatt \(\displaystyle RQE \angle = 2 \alpha\). Így

\(\displaystyle \widehat {EP}=r \cdot \alpha\)

és

\(\displaystyle \widehat {ER}= \frac{r}{2} \cdot 2 \alpha,\)

azaz a két körív hossza megegyezik, \(\displaystyle r \alpha\) mindkettő.

Végül, ha az \(\displaystyle O\)-ból induló félegyenesen rajta van \(\displaystyle E\), akkor \(\displaystyle P= R=E\), és az állítás nyilvánvalóan igaz.

Ezzel az összes esetben igazoltuk a feladat állítását.

Statistics:

236 students sent a solution.
5 points:	189 students.
4 points:	15 students.
3 points:	3 students.
2 points:	7 students.
1 point:	4 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2019