Problem C. 1522. (January 2019)

C. 1522. The positive integers are arranged in three rows as follows:  

Prove that it is possible to select an infinite geometric sequence out of each row.

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jól láthatóan az első sorozatban a 3-mal osztva 1 maradékot adó számok vannak, a másodikban a 2-t adók, a harmadikban pedig a 3-mal oszthatók. Vegyük észre, hogy ha egy számot megszorzunk egy 3-mal osztva 1 maradékot adó számmal, akkor a végeredmény 3-mal való osztási maradéka megegyezik a kiindulási száméval: \(\displaystyle 3k(3l+1)=3(3kl+k)\), \(\displaystyle (3k+1)(3l+1)=3(3kl+k+l)+1\), \(\displaystyle (3k+2)(3l+1)=3(3kl+k+2l)+2\). Azaz kvóciensnek mindig választható például a 4.

Most nézzük sorban a sorokat. Az első sorban a \(\displaystyle 3k+1\) alakú számok vannak, ilyenkor például \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle q=4\) megad egy végtelen mértani sorozatot (\(\displaystyle a,aq,aq^2,\dots\)).

A második sorban \(\displaystyle 3k+2\) alakú számok vannak, \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle q=4\) meghatároz egy végtelen mértani sorozatot.

Végül a harmadik sorban a \(\displaystyle 3k\) alakú számok vannak, itt például \(\displaystyle a=3\) és \(\displaystyle q=4\) egy jó választás.

Azaz mindhárom sorban mutattunk egy-egy végtelen mértani sorozatot.

Statistics:

221 students sent a solution.
5 points:	129 students.
4 points:	41 students.
3 points:	18 students.
2 points:	16 students.
1 point:	6 students.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2019