Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1523. feladat (2019. január)

C. 1523. Egy konvex négyszöget az átlóival háromszögekre bontunk. Mutassuk meg, hogy ha a négy háromszög területei között pontosan háromféle érték fordul elő, akkor a négyszög trapéz.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Az, hogy a területek között pontosan háromféle érték fordul elő, úgy is megfogalmazható, hogy pontosan két háromszögnek egyenlő a területe.

1. eset: Két szomszédos háromszögnek egyenlő a területe:

Legyen például \(\displaystyle AED\) és \(\displaystyle ECD\) háromszög területe egyenlő (bármely 2 szomszédos háromszögre ugyanez az érvelés alkalmazható). Ezen két háromszög \(\displaystyle D\) csúcsból induló magassága közös (hiszen a \(\displaystyle D\)-vel szemközti oldaluk egy egyenesbe esik), ekkor viszont a \(\displaystyle D\)-vel szemközti oldaluk is egyenlő hosszú, azaz \(\displaystyle AE=EC\). Ám ekkor hasonló érvelést alkalmazva kapjuk, hogy az \(\displaystyle ABE\) háromszög területe egyenlő az \(\displaystyle EBC\) háromszög területével, azaz csak kétféle terület érték fordulhatna elő, ami ellentmondás.

2. eset: Két szemközti háromszög területe egyenlő:

Legyen az \(\displaystyle AED\) és az \(\displaystyle EBC\) háromszögek területe egyenlő (a másik 2 szemközti háromszöggel ugyanez elmondható). Ekkor nyilvánvalóan az \(\displaystyle ABD\) és \(\displaystyle ABC\) háromszögek területe is egyenlő. Ennek a két háromszögnek \(\displaystyle AB\) közös oldala, így az \(\displaystyle AB\)-hez tartozó magasságuk hosszának egyenlőnek kell lennie: \(\displaystyle DG=CH\). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle AB \parallel CD\), azaz a négyszögünk valóban trapéz.

Ezzel a feladat állítását igazoltuk.


Statisztika:

A C. 1523. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. januári matematika feladatai