Problem C. 1523. (January 2019)

C. 1523. A convex quadrilateral is divided into triangles by its diagonals. Prove that if there are exactly three different values among the areas of the four triangles then the quadrilateral is a trapezium.

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az, hogy a területek között pontosan háromféle érték fordul elő, úgy is megfogalmazható, hogy pontosan két háromszögnek egyenlő a területe.

1. eset: Két szomszédos háromszögnek egyenlő a területe:

Legyen például \(\displaystyle AED\) és \(\displaystyle ECD\) háromszög területe egyenlő (bármely 2 szomszédos háromszögre ugyanez az érvelés alkalmazható). Ezen két háromszög \(\displaystyle D\) csúcsból induló magassága közös (hiszen a \(\displaystyle D\)-vel szemközti oldaluk egy egyenesbe esik), ekkor viszont a \(\displaystyle D\)-vel szemközti oldaluk is egyenlő hosszú, azaz \(\displaystyle AE=EC\). Ám ekkor hasonló érvelést alkalmazva kapjuk, hogy az \(\displaystyle ABE\) háromszög területe egyenlő az \(\displaystyle EBC\) háromszög területével, azaz csak kétféle terület érték fordulhatna elő, ami ellentmondás.

2. eset: Két szemközti háromszög területe egyenlő:

Legyen az \(\displaystyle AED\) és az \(\displaystyle EBC\) háromszögek területe egyenlő (a másik 2 szemközti háromszöggel ugyanez elmondható). Ekkor nyilvánvalóan az \(\displaystyle ABD\) és \(\displaystyle ABC\) háromszögek területe is egyenlő. Ennek a két háromszögnek \(\displaystyle AB\) közös oldala, így az \(\displaystyle AB\)-hez tartozó magasságuk hosszának egyenlőnek kell lennie: \(\displaystyle DG=CH\). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle AB \parallel CD\), azaz a négyszögünk valóban trapéz.

Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Statistics:

63 students sent a solution.
5 points:	Ajtai Boglárka, Borzon Márton, Cseke Tibor123, Debreczeni Tibor, Draskóczi Dóra Boglárka, Éberle Richárd, Forgács Kata, Gál Bence, Gálffy Veronika, Gárgyán Barnabás, Hordós Adél Zita, Horváth 713 Alíz, Jankovits András, Kis 194 Károly, Kis-Tóth Janka, Kubik Emese, Majerusz Ádám, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nyitrai Boglárka, Rozgonyi Gergely, Sal Dávid, Schäffer Tamás, Sebe Anna, Szabó 677 Balázs István, Szabó 808 Álmos Levente, Szalontai Kinga Sára, Székelyhidi Klára, Szigeti Donát, Tóth Benedek, Varga Ákos, Wagner Dávid Barnabás.
4 points:	Facskó Vince, Falvay Júlia, Kim 666 Levente, Rátki Luca, Vándorffy Áron.
3 points:	6 students.
2 points:	7 students.
1 point:	4 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2019