Problem C. 1525. (February 2019)

C. 1525. A team in a football championship had 33 points after 15 games they played. The 15 games included all three kinds of outcome: winning, losing, and draw. How many games did they win? (3 points are scored for winning a game, 0 for losing and 1 for each team in the case of a draw.)

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel egy győzelemért 3 pont jár, így 11 győzelemért 33 pont jár. Azaz az adott csapatnak 11 győzelme nem lehet, mert így nem lehetne döntetlen eredményük. (Nyilván 11-nél több győzelmük sem lehet, mert akkor már a győzelmekért járó pontok összege több lenne, mint 33.)

Ha 10 győzelme van az adott csapatnak, akkor az 30 pont. Ehhez még 3 döntetlennel és 2 vereséggel éppen 33 pontjuk lesz a 15 forduló után. Tehát lehetséges, hogy 10-szer nyert a csapat.

9 győzelem esetén a győzelemért járó 27 ponthoz még kellene 6 döntetlen, és nem lehetne vereség, hiszen ez már \(\displaystyle 9+6=15\) fordulót jelentene. Ha ennél is kevesebb győzelme lenne az adott csapatnak, akkor ahhoz, hogy 33 pontjuk legyen, túl sok döntetlen mérkőzés kellene, hiszen ha 1-gyel csökken a győztes meccsek száma, az \(\displaystyle 3\) pont veszteség, és ahelyett 3 döntetlennek kellene bejönnie. (Tehát 8 győzelem esetén legalább \(\displaystyle 15+2\), 7 győzelem esetén legalább \(\displaystyle 15+4\), ... fordulóra lenne szükség a 33 pont megszerzéséhez, akkor is, ha egyáltalán nincs vesztes meccs.)

Tehát 10-szer győzött a csapat.

Statistics:

257 students sent a solution.
5 points:	198 students.
4 points:	27 students.
3 points:	11 students.
2 points:	7 students.
1 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2019