Problem C. 1527. (February 2019)

C. 1527. If two appropriate numbers in the sequence \(\displaystyle 1, 2, \dots , n\) are erased, the sum of the remaining numbers will be 2019. Find all possible pairs of numbers that may be erased.

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először határozzuk meg, hogy \(\displaystyle n\) milyen értékeket vehet fel, azaz milyen \(\displaystyle n\)-re lesz \(\displaystyle 1+ 2+ \dots +n\) ,,nem sokkal'' nagyobb, mint \(\displaystyle 2019\).

\(\displaystyle n=63\)-ra még a teljes összeg is kisebb, mint 2019, hiszen \(\displaystyle 1+2+\dots+63=\frac{63\cdot 64}{2}=2016\). Tehát \(\displaystyle n\) nem lehet 63, és persze ennél kisebb sem.

\(\displaystyle n=64\)-re \(\displaystyle 1+ 2+ \dots +64=2080\), azaz a két számot úgy kell elhagyni, hogy az összegük 61 legyen. Ezt 30-féleképpen tehetjük meg: \(\displaystyle 1+60, 2+59, 3+58, \dots, 30+31\).

\(\displaystyle n=65\)-re \(\displaystyle 1+ 2+ \dots +65=2145\), azaz két számot úgy kell elhagyni, hogy az összegük 126 legyen. Ehhez a két számot 2-féleképpen válaszhattuk ki: \(\displaystyle 61+65\), valamint \(\displaystyle 62+64\).

\(\displaystyle n=66\)-ra \(\displaystyle 1+ 2+ \dots +66=2211,\) ami már túl nagy, nem tudunk két számot úgy elhagyni, hogy a maradék számok összege 2019 legyen, hiszen a két legnagyobb számot elhagyva is legalább \(\displaystyle 1+2+\dots+64=2080\) maradna az összeg.

Hasonlóan 66-nál nagyobb \(\displaystyle n\)-ek sem jók, hiszen két szám elhagyása után már az \(\displaystyle 1,2,\dots,66\) közül megmaradók összege is legalább 2080.

Azaz \(\displaystyle n\) értéke 64 vagy 65 lehet, \(\displaystyle n=64\) esetén 30-féleképpen, \(\displaystyle n=65\) esetén pedig 2-féleképpen választhattuk ki a két törölt számot. Az elhagyott számpár a következők valamelyike lehetett: (\(\displaystyle n=64\) esetén:) \(\displaystyle \{1,60\},\{2,59\},\dots,\{30,31\}\); (\(\displaystyle n=65\) esetén:) \(\displaystyle \{61,65\},\{62,64\}\).

Statistics:

242 students sent a solution.
5 points:	144 students.
4 points:	37 students.
3 points:	15 students.
2 points:	13 students.
1 point:	7 students.
0 point:	8 students.
Unfair, not evaluated:	10 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	8 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2019