A C. 1528. feladat (2019. február) |
C. 1528. Milyen pozitív egész számot jelölhet \(\displaystyle n\), ha tudjuk, hogy az \(\displaystyle n^3\) szám utolsó három számjegyét letörölve az \(\displaystyle n\) számot kapjuk vissza?
Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A feladat szövege alapján
\(\displaystyle n \overline{abc}=n^3,\)
ahol most \(\displaystyle n \overline{abc}\) jelölje azt a számot, amit úgy kapunk, hogy \(\displaystyle n\) mögé még beírjuk az \(\displaystyle a,b,c\) számjegyeket. (\(\displaystyle \overline{abc}\) az \(\displaystyle n^3\) szám utolsó három jegye által alkotott szám.) Azaz
\(\displaystyle 1000n+\overline{abc}=n^3.\)
Ebből
\(\displaystyle \overline{abc}=n^3-1000n=n (n^2-1000).\)
Tehát \(\displaystyle n^2-1000\geq 0\)-nak teljesülnie kell (hiszen \(\displaystyle n^3\) utolsó három jegye egy nemnegatív egész számot alkot), azaz \(\displaystyle n \geq 32\).
Mivel
\(\displaystyle 0\leq\overline{abc}<1000,\)
ezért
\(\displaystyle 0\leq n(n^2-1000) <1000.\)
Nézzük meg a különböző lehetséges értékeket:
\(\displaystyle n=32\) teljesíti a feltételeket : \(\displaystyle 32768=32^3.\)
\(\displaystyle n=33\)-ra \(\displaystyle 33 (33^2-1000)=2937>1000,\) azaz a 33 már túl nagy.
Mivel \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n^2-1000\) is monoton nő, ezért 33-nál nagyobb \(\displaystyle n\)-ek sem teljesítik a feltételt.
Tehát \(\displaystyle n\) csak a 32-t jelölheti (ami valóban teljesíti is a feltételeket).
Statisztika:
239 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 80 versenyző. 4 pontot kapott: 49 versenyző. 3 pontot kapott: 22 versenyző. 2 pontot kapott: 25 versenyző. 1 pontot kapott: 40 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 10 dolgozat.
A KöMaL 2019. februári matematika feladatai