Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1528. feladat (2019. február)

C. 1528. Milyen pozitív egész számot jelölhet \(\displaystyle n\), ha tudjuk, hogy az \(\displaystyle n^3\) szám utolsó három számjegyét letörölve az \(\displaystyle n\) számot kapjuk vissza?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A feladat szövege alapján

\(\displaystyle n \overline{abc}=n^3,\)

ahol most \(\displaystyle n \overline{abc}\) jelölje azt a számot, amit úgy kapunk, hogy \(\displaystyle n\) mögé még beírjuk az \(\displaystyle a,b,c\) számjegyeket. (\(\displaystyle \overline{abc}\) az \(\displaystyle n^3\) szám utolsó három jegye által alkotott szám.) Azaz

\(\displaystyle 1000n+\overline{abc}=n^3.\)

Ebből

\(\displaystyle \overline{abc}=n^3-1000n=n (n^2-1000).\)

Tehát \(\displaystyle n^2-1000\geq 0\)-nak teljesülnie kell (hiszen \(\displaystyle n^3\) utolsó három jegye egy nemnegatív egész számot alkot), azaz \(\displaystyle n \geq 32\).

Mivel

\(\displaystyle 0\leq\overline{abc}<1000,\)

ezért

\(\displaystyle 0\leq n(n^2-1000) <1000.\)

Nézzük meg a különböző lehetséges értékeket:

\(\displaystyle n=32\) teljesíti a feltételeket : \(\displaystyle 32768=32^3.\)

\(\displaystyle n=33\)-ra \(\displaystyle 33 (33^2-1000)=2937>1000,\) azaz a 33 már túl nagy.

Mivel \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n^2-1000\) is monoton nő, ezért 33-nál nagyobb \(\displaystyle n\)-ek sem teljesítik a feltételt.

Tehát \(\displaystyle n\) csak a 32-t jelölheti (ami valóban teljesíti is a feltételeket).


Statisztika:

A C. 1528. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. februári matematika feladatai