Problem C. 1528. (February 2019)

C. 1528. What positive integer may \(\displaystyle n\) denote if the number obtained by erasing the last three digits of the number \(\displaystyle n^3\) is \(\displaystyle n\) itself?

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladat szövege alapján

\(\displaystyle n \overline{abc}=n^3,\)

ahol most \(\displaystyle n \overline{abc}\) jelölje azt a számot, amit úgy kapunk, hogy \(\displaystyle n\) mögé még beírjuk az \(\displaystyle a,b,c\) számjegyeket. (\(\displaystyle \overline{abc}\) az \(\displaystyle n^3\) szám utolsó három jegye által alkotott szám.) Azaz

\(\displaystyle 1000n+\overline{abc}=n^3.\)

Ebből

\(\displaystyle \overline{abc}=n^3-1000n=n (n^2-1000).\)

Tehát \(\displaystyle n^2-1000\geq 0\)-nak teljesülnie kell (hiszen \(\displaystyle n^3\) utolsó három jegye egy nemnegatív egész számot alkot), azaz \(\displaystyle n \geq 32\).

Mivel

\(\displaystyle 0\leq\overline{abc}<1000,\)

ezért

\(\displaystyle 0\leq n(n^2-1000) <1000.\)

Nézzük meg a különböző lehetséges értékeket:

\(\displaystyle n=32\) teljesíti a feltételeket : \(\displaystyle 32768=32^3.\)

\(\displaystyle n=33\)-ra \(\displaystyle 33 (33^2-1000)=2937>1000,\) azaz a 33 már túl nagy.

Mivel \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n^2-1000\) is monoton nő, ezért 33-nál nagyobb \(\displaystyle n\)-ek sem teljesítik a feltételt.

Tehát \(\displaystyle n\) csak a 32-t jelölheti (ami valóban teljesíti is a feltételeket).

Statistics:

239 students sent a solution.
5 points:	80 students.
4 points:	49 students.
3 points:	22 students.
2 points:	25 students.
1 point:	40 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	10 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2019