Problem C. 1532. (March 2019)

C. 1532. Show that if \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) are positive numbers and

\(\displaystyle a+b+c\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}, \)

then one of them is at least 1.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először hozzuk közös nevezőre az egyenlőtlenség jobb oldalát:

\(\displaystyle a+b+c\geq\frac{c+a+b}{abc}.\)

Vegyük észre, hogy a bal oldal megegyezik a jobb oldali számlálóval, azaz abból, hogy ez az egyenlőtlenség fennáll (és \(\displaystyle a,b,c\) pozitívak), következik, hogy

\(\displaystyle abc \geq 1.\)

Ebből pedig következik, hogy legalább az egyik szám, nagyobb egyenlő 1-nél (hiszen \(\displaystyle a,b,c\) pozitívak).

Így megmutattuk, hogy a kiindulási egyenlőtlenségből következik, hogy valamelyik szám legalább 1.

Statistics:

174 students sent a solution.
5 points:	154 students.
4 points:	7 students.
3 points:	5 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2019