Problem C. 1534. (March 2019)

C. 1534. Find all real pairs \(\displaystyle (x,y)\) satisfying \(\displaystyle 5x^2+y^2-4xy+24 \le 10x-1\).

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Rendezzük át az egyenlőtlenséget, hogy a jobb oldalon 0 álljon:

\(\displaystyle 5x^2+y^2-4xy+24-10x+1 \leq 0. \)

A bal oldalt alakítsuk két teljes négyzet összegévé:

\(\displaystyle (y-2x)^2 + (x-5)^2 \leq 0.\)

A bal oldalon álló összeg mindkét tagja nagyobb, vagy egyenlő 0-nál, hiszen négyzetek, azaz az összeg csak úgy lehet kisebb, vagy egyenlő 0-nál, ha egyenlő 0-val. Két négyzet összege pontosan akkor egyenlő 0-val, ha mindkettő 0. Azaz \(\displaystyle (y-2x)^2=0\) és \(\displaystyle (x-5)^2=0.\)

Ebből \(\displaystyle y-2x=0\) és \(\displaystyle x-5=0.\) Kaptuk, hogy

\(\displaystyle x=5\)

és

\(\displaystyle y=10.\)

Azaz az egyenlőtlenségnek egyetlen számpár a megoldása: \(\displaystyle x=5,y=10.\)

Megjegyezzük, hogy ezt visszahelyettesítve láthatjuk, hogy teljesül az egyenlőtlenség.

Statistics:

221 students sent a solution.
5 points:	178 students.
4 points:	5 students.
3 points:	9 students.
2 points:	2 students.
1 point:	11 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2019