Problem C. 1535. (March 2019)

C. 1535. Prove that if the area of a convex quadrilateral is halved by each diagonal, then the quadrilateral is a parallelogram.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Először nézzük a négy kis háromszöget, amiket a négyszög két csúcsa és az átlóinak \(\displaystyle E\) metszéspontja alkot. Ezek területét jelölje rendre \(\displaystyle T_a, T_b, T_c, T_d\) az alapján, hogy a négyszög mely oldala tartozik az adott kis háromszöghöz (például, az \(\displaystyle ABE\) háromszög területe \(\displaystyle T_a\)).

Tudjuk, hogy a négyszög mindkét átlója felezi a négyszög területét, azaz

\(\displaystyle T_a+T_d=T_b+T_c\)

és

\(\displaystyle T_a+T_b=T_c+T_d.\)

Ha összeadjuk a két egyenletet adódik, hogy

\(\displaystyle T_a=T_c.\)

Ha pedig kivonjuk az elsőből a másodikat, akkor kapjuk, hogy

\(\displaystyle T_b=T_d.\)

Azaz a négyszögben a szemközti kis háromszögek területe egyenlő. Ebből következik, hogy

\(\displaystyle T_{ABC}=T_a+T_b=T_a+T_d=T_{ABD}.\)

Ennek a két háromszögnek közös az \(\displaystyle AB\) oldala, így egyenlő a hozzá tartozó magasságuk, azaz \(\displaystyle GC=FD\). Ezzel megmutattuk, hogy \(\displaystyle AB \parallel CD\). Hasonlóan bizonyítható, hogy \(\displaystyle BC \parallel DA\). Azaz a négyszögünk szemközti oldalai párhuzamosak, tehát valóban paralelogramma.

Statistics:

152 students sent a solution.
5 points:	96 students.
4 points:	12 students.
3 points:	14 students.
2 points:	9 students.
1 point:	9 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2019